Integration af brøk

Udnyt, at ₃₀⁰∫ f(x) dx = ₀³⁰∫ -f(x) dx. Brug substitution til at udregne v/(g+kv²).

         sæt i -f(x)
                              u = g + kv²   og dermed   (1/(2k)du = vdv
          så du har:

                              ∫ v/(g+kv²) dv  =  ∫1/(g+kv²)vdv  =  (1/(2k)) • ∫(1/u) du …

#2

Perfekt, jeg kom igennem det.

MEN, en ting jeg ikke forstod var følgende:

Jeg kender både v, g og k. De er af forskellige talstørrelser, men når jeg indsætter tallene - inden jeg begynder at integrere og integrerer først, når de er sat ind, så får jeg ikke det rigtige resultatet. Hvorfor?

F.eks., når v = 30, g = 9,82 og k = 0,006, så giver det bestemte integralet: ₃₀⁰∫(30/(-9,82 -0,006 · (30)²)) dv, hvilket giver det forkerte resultat i forhold til, hvis jeg integrerede først mht. v og satte  værdierne ind bagefter. Hvad er forskellen?

#3

v er integrationsvariablen; den kan ikke pludselig sættes til en bestemt værdi. Når det bestemte integral ovenfor beregnes, indgår kun g og k i resultatet.

#4

Det er altså tilladt at indsætte værdierne for g og k, men ikke for v?

#5

Hvis v er en variabel, der integreres over, kan man ikke sætte den til at være en konstant. I integralet ovenfor, er g og k konstanter.

#6

Det vil jeg huske.

Kan du se, hvordan jeg kan isolere v_ukendt i:

e^-h = ((-g + k · v²_ukendt)/(-g))^1/(2k)

#7

Opløft hver side i eksponenten 2k, gang med (-g) på hver side, læg g til på hver side, divider med k på hver side, og uddrag til sidst kvadratroden på hver side.

Som Andersen11 pointerer, er v integrationsvariablen. Den tager altså forskellige værdier (alle værdier mellem 0 og 30). Hvis du indsætter v = 30 har du en helt anden funktion.

I toppen kan du se en ret linje som integreret giver det blå rektangel, mens den røde kurve giver det røde areal.

#8 og #9

Løst, tak.