Integration

p(x) kan forkortes til tan(x)-1/x, hvilket burde ligge lige til højrebenet.

               ∫ (tan(x) - (1/x)) dx        x ≠ 0 og x ≠ π/2 + p·π   p ∈ Z

              -ln(|x|) - ln(|x|) + k  =  -2·ln(|x|) + k  =  -ln(|x|²) + k  =  - ln(x²) + k  =  ln(x^-2) + k

korrektion af #2 for cos-forglemmelse:

                ∫ (tan(x) - (1/x)) dx        x ≠ 0 og x ≠ π/2 + p·π   p ∈ Z

              -ln(|cos(x)|) - ln(|x|) + k  =  -(ln(|cos(x)|) + ln(|x|)) + k  =  -(ln(|cos(x)|•|x|) + k  =  -ln(|x·cos(x)|) + k

#2

Dog er

∫ tan(x) dx = ∫ (sin(x)/cos(x)) dx = ∫ - (1/cos(x)) d(cos(x)) = -ln(|cos(x)|) + k

hvilket er korrigeret i #3.

Hvis h = ∫p(x)dx = -ln(|x·cos(x)|), så er løsning til differentialligningen givet ved:

y(x) = e^-h (∫e^h · r dx + c), hvor r = x · cos(x) (som opgivet i #0)

Jeg kommer frem til:

y(x) = |x·cos(x)| · (∫ 1/(|x·cos(x)|) · x · cos(x) dx + c)

Er det tilladt at sige, at 1/(|x·cos(x)|) · x · cos(x) = 1?

#5

Du kan så benytte en fremgangsmåde analogt til den, der blev benyttet i din tidligere tråd

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1444043&page=2#1444222

Man kan ikke bare fjerne numerisk-tegnet uden at dele op i tilfælde.

#6

For x > 0, så:

y(x) = x · cos(x) · (∫ 1/(x·cos(x)) · x · cos(x) dx + c) = x · cos(x) · (∫ 1 dx + c) = x · cos(x) · [x + c]

       = x² · cos(x) + c · x · cos(x)

For x < 0, så:

y(x) = -x · cos(-x) · (∫ 1/(-x · cos(-x)) · x · cos(x) dx + c)?

#7

Du har ikke skrevet løsningen op korrekt.

Med p(x) = tan(x) - 1/x , er P(x) = -ln(|cos(x)|) - ln(|x|) og dermed

y(x) = (|cos(x)| + |x|) · (∫ (-|cos(x)| - |x|)·x·cos(x) dx + c)

#8

Det var vist mig, der vrøvlede i #8 . Man får så i stedet

y(x) = |cos(x)| · |x| · (∫ x·cos(x) / (|cos(x)| · |x|) dx + c)

       = x²·cos(x) + c·|x|·|cos(x)|

#9

Jeg synes ikke, at jeg har styr på de numeriske tegn endnu. Var det en korrekt gennemgang for x > 0 i #7?

#10

Ja, det var det.til dels. Det er dog ikke fortegnet for x, der bestemmer fortegnet for cos(x)., men

|cos(x)| · |x| · ∫ x·cos(x) / (|cos(x)| · |x|) dx

vil altid reduceres til     ∫ dx   for x ≠ 0 og cos(x) ≠ 0 .

#11

Det forstår jeg ikke. Før ændrede vi blot på fortegnet på x, for at se, hvad det havde af indflydelse?

#12

Ja, men her indgår der også |cos(x)| .

#13

Det er ikke helt nemt.

Jeg forstår ikke, hvad du har skrevet i #11: "vil altid reduceres til  ∫ dx"?

#14

Nej, du har ret. Det skulle have været

|cos(x)| · |x| · ∫ x·cos(x) / (|cos(x)| · |x|) dx

vil altid reduceres til

x·cos(x) · ∫ dx

#15

Hvordan kan man vide det i en eksamenssituation? Jeg kan slet ikke se logikken i det.

Differentialligningen

y' + (tan(x) - (1/x))·y = x·cos(x)

løses nok enklest ved at sætte

y = x·cos(x)·u ,

hvorved

y' = (cos(x) - x·sin(x))·u + x·cos(x)·u' ,

der indsat i differentialligningen giver

(cos(x) - x·sin(x))·u + x·cos(x)·u' + (tan(x) - (1/x))·x·cos(x)·u = x·cos(x) , eller

(cos(x) - x·sin(x))·u + x·cos(x)·u' + (x·sin(x) - cos(x))·u = x·cos(x) , eller

x·cos(x)·u' = x·cos(x) , eller

u' = 1 , så

u(x) = x + c, og dermed

y(x) = x·cos(x)·(x + c)

#17

Tak for det, selvom det er en anden fremgangsmåde ift. oprindelig løsningsmetode.

#18

Fremgangsmåden i #17 bygger på metoden i løsningen af den lineære differentialligning af 1. orden.