Matematik
find paralelle vektorer på cirklen
26. november 2005 af
the_marsbar (Slettet)
Jeg sidder lige her med en opgave som jeg ikke kan finde ud af (har prøvet alverdens ting uden held). Måske skal man bruge parameterfremstilling, men jeg kan ikke helt gennemskue det.
Opgaven lyder sådan:
En cirkel har radio 13 og centrum i punktet C(4,-3).
Cirklen har to tangenter, som er parallelle med vektoren v=(12,5).
Beregn koordinatsættet til hvert af røringspunkterne for de to tangenter.
Nogen der har en ide?
Opgaven lyder sådan:
En cirkel har radio 13 og centrum i punktet C(4,-3).
Cirklen har to tangenter, som er parallelle med vektoren v=(12,5).
Beregn koordinatsættet til hvert af røringspunkterne for de to tangenter.
Nogen der har en ide?
Svar #2
26. november 2005 af fixer (Slettet)
Tegn en figur til hjælp.
De to røringspunkter må nødvendigvis være skæringspunkterne mellem cirklen og den linie, der går gennem C og er ortogonal på retningen bestemt af v.
Dette indses af det faktum at radius i et røringspunkt står vinkelret på tangenten. Da de omtalte tangenter er parallelle, må radiusvektorerne til røringspunkterne også være parallelle (men modsat rettede).
Idet vi betegner røringspunkterne P og Q har vi af indskudssætningen
OP = OC + CP
OQ = OC + CQ
Opgaven er derfor nu at bestemme koordinaterne for radiusvektorerne CP og CQ.
Idet CP og CQ er modsat rettede radiusvektorer haves
|CP| = |CQ| = 13
og
CP = -CQ
Det er derfor tilstrækkeligt blot at bestemme den ene af vektorerne.
Hertil blot et hint:
Radiusvektorerne er parallelle med tværvektoren til v. Dette tillader bestemmelse af enhedsvektorer parallelle med de søgte vektorer. Udnyt dernæst at en vektor kan skrives som produktet af sin længde og en enhedsvektor i vektorens retning.
De to røringspunkter må nødvendigvis være skæringspunkterne mellem cirklen og den linie, der går gennem C og er ortogonal på retningen bestemt af v.
Dette indses af det faktum at radius i et røringspunkt står vinkelret på tangenten. Da de omtalte tangenter er parallelle, må radiusvektorerne til røringspunkterne også være parallelle (men modsat rettede).
Idet vi betegner røringspunkterne P og Q har vi af indskudssætningen
OP = OC + CP
OQ = OC + CQ
Opgaven er derfor nu at bestemme koordinaterne for radiusvektorerne CP og CQ.
Idet CP og CQ er modsat rettede radiusvektorer haves
|CP| = |CQ| = 13
og
CP = -CQ
Det er derfor tilstrækkeligt blot at bestemme den ene af vektorerne.
Hertil blot et hint:
Radiusvektorerne er parallelle med tværvektoren til v. Dette tillader bestemmelse af enhedsvektorer parallelle med de søgte vektorer. Udnyt dernæst at en vektor kan skrives som produktet af sin længde og en enhedsvektor i vektorens retning.
Svar #3
26. november 2005 af the_marsbar (Slettet)
mange tak:) det havde jeg slet ikke lige tænkt på.
Svar #4
26. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Tegn situationen.
Lad R og S betegne de omspurgte røringspunkter. Af indskudsreglen for vektorer i planen haves
[OR] = [OC] + [CR]
[OS] = [OC] + [CS],
Vi er derfor interesserede i at bestemme radiusvektorerne [CR] og [CS].
Bemærk, at [CR] og [CS] har længde 13, at [CS] = -[CR] (hvorfor?), og at de er normalvektorer for de omtalte cirkeltangenter. Altså er det nok at bestemme [CR].
Eftervis, at v har længde 13. Dermed er det nærmest trivielt at bestemme en mulighed for [CR]; hvilken?
//Epsilon
Lad R og S betegne de omspurgte røringspunkter. Af indskudsreglen for vektorer i planen haves
[OR] = [OC] + [CR]
[OS] = [OC] + [CS],
Vi er derfor interesserede i at bestemme radiusvektorerne [CR] og [CS].
Bemærk, at [CR] og [CS] har længde 13, at [CS] = -[CR] (hvorfor?), og at de er normalvektorer for de omtalte cirkeltangenter. Altså er det nok at bestemme [CR].
Eftervis, at v har længde 13. Dermed er det nærmest trivielt at bestemme en mulighed for [CR]; hvilken?
//Epsilon
Skriv et svar til: find paralelle vektorer på cirklen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.