Matematik

Komplekse talplan (mængde)

07. december 2005 af -Glenn- (Slettet)

Hvis man skal skitsere mængden, {z E C | |z-2+i|=<1}, vil dette så ikke blive en afsluttet cirkelskive med centrum i (2,1), og radius lig 1?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2005 af fixer (Slettet)

Nej. Centeret for cirkelskiven ligger er C(2,-1). Vi har med z=x+iy

z-2+i = x+iy-2+i = (x-2)+i(y+1)

hvoraf

|z-2+i|^2 = (x-2)^2+(y+1)^2

Mængden

{z E C | |z-2+i|=<1}

er derfor den samme som

{(x,y) E RxR | (x-2)^2+(y+1)^2=<1}

hvilket beskriver en lukket cirkelskive med centrum i C(2,-1).

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2005 af sigmund (Slettet)

#1.
Kunne vi ikke hellere sige at mængden

{z E C | |z-2+i|=<1}

beskriver en afsluttet cirkelskive med centrum i z=2-i og radius 1. Jeg ved godt at det er det samme som at sige, at den har centrum i C(2,-1) og radius 1, men jeg ville foretrække at skrive z=2-i som centrum, da vi netop arbejder i det komplekse talplan.

Svar #3
07. december 2005 af -Glenn- (Slettet)

Jeg er sådan set med på udregningerne, men mangler alligevel noget forsåelse. Hvordan kommer du frem til at kunne erstatte |z-2+i|^2 = (x-2)^2+(y+1)^2 med |z-2+i|. Altså jeg kan ikke se hvorfor mængden {z E C | |z-2+i|=<1} er den samme som {(x,y) E RxR | (x-2)^2+(y+1)^2=<1}?

Svar #4
07. december 2005 af -Glenn- (Slettet)

Ja, ok! Skal vist lige tænke mig en ekstra gang, det giver mening nu! Tak for forklaringen fixer :)

#2 Hvis ikke du benytter den fremgangsmåde #1 skitserede, hvordan løser du så en given opg. af denne type

Svar #5
07. december 2005 af -Glenn- (Slettet)

#2
Heh. Det kan jeg også godt se nu! :)

{z E C | |z-2+i|=

{z E C | |z-(2-i)|=<1}, ergo bliver det en afsluttet cirkelskive med C(2,-1)=2-i og radius 1.

Tak for hjælpen begge to! :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. december 2005 af fixer (Slettet)

#3
Jo. Men bemærk at jeg eksplicit angav at (x,y) E RxR i mængdebyggeren for at henføre betragtningerne til R^2 således som introduceret i #0.

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. december 2005 af fixer (Slettet)

#6

Korrektion:

#3 -> #2

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. december 2005 af sigmund (Slettet)

#5.
En cirkel med centrum i z=z0 er netop kendetegnet ved at alle punkter på cirklen har samme afstand til z0. Desuden giver z=2-i afstanden 0 mellem z og 2-i. Derfor må cirklen have centrum i z0=2-i. Alle punkter i den givne punktmængde må derfor ligge på en afsluttet cirkelskive med centrum i z=2-i.

Jeg tror vist at vi er i gang med at gøre for meget ud af en simpel ting, så jeg har ikke mere at sige til dette (jeg tror vist at jeg har sagt nok allerede).

Skriv et svar til: Komplekse talplan (mængde)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.