Biot-Savarts lov

Biot-Savart's lov kan vises udfra Ampere's lov på differentiel form. Hvis du ikke har haft om vektoranalyse kan det nok virke lidt tungt.

Prøv at kigge lidt på følgende links og spørg hvis der er er uklarheder:

www.usna.edu/Users/physics/ mungan/Scholarship/AmpereMaxwellLaw.pdf

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node39.html

Ja, jeg er ikke helt inde i de her vektoroperatorer endnu. Men hvis man kan vise det på differentialform, er det så ikke muligt også at vise det på integral-form? Ligningerne siger vel i bund og grund det samme, eller hvad?

Jo, man kan godt vise at Amperes lov og Gauss' lov er ækvivalente med Biot-Savarts lov, forudsat at permeabiliteten er konstant.

Maxwell's ligninger på integralform er almentgyldige, idet integrationsmængderne (de punktmængder, hvorover der integreres) ikke er underkastet væsentlige indskrænkninger. Såfremt der foreligger passende symmetri, der gør det muligt på forhånd at udtale sig om feltliniernes forløb, kan direkte anvendelse af integralligningerne føre til det ønskede resultat. Fremgangsmåden er dog ikke matematisk stringent. Man benytter integrallingingerne til at løse et problem, men man kan ikke sige om integralligningerne ville føre til yderligere løsninger; for vi kan jo i sagens natur ikke betragte _alle_ integrationsmængder. Man kan undersøge, om den fundne løsning tilfredsstiller integralligningerne for enhver integratiobsnængde, men det er meget besværligt. Det er langt fordelagtigere at opstille Maxwell's ligninger på differentiel form. De leder under alle geometriske forhold til en løsning.

Men selv om man laver en symmetrisk situation, som oplagt ville være en cirkulær integrationsmængde rundt om f.eks. en leder, kan jeg ikke få B-feltet i et enkelt punkt ind i billedet, da integralerne kun siger noget om hele feltet rundt i cirklen...

Den eneste udledning af B.S.-lov med integralform, jeg har set, er de gået ind og har defineret en magnetisk monopol, der har samme egenskaber som elektriske ladninger, og det holder ikke

Symmetrien i eksemplet med lederen gør netop at man kan udtale sig om H-feltet i ethvert punkt af rummet hvori lederen befinder sig. Det er numerisk det samme i alle punkter med samme afstand fra lederen.

Der er ikke noget forgjordt i at introducere magnetiske ladninger og strømme. Man anvender eksempelvis sådanne feltækvivalensprincippet ved beregning af udstråling fra aperturer.

Magnetiske ladning er ufysisk. Det ville indebære at divergensen af B-feltet var forskellig fra nul, hvilket aldrig er observeret. Al magnetisme skyldes elektriske ladninger i bevægelse. Dette er også årsagen til, at magnetiske feltlinier er lukkede. Hvis de skulle have en begyndelse og slutning, måtte det nødvendigvis være på magnetiske ladninger.

Omend magnetiske ladninger ikke eksisterer kan de ikke desto mindre introduceres som en del at det ækvivalente system af kilder, som i en begrænset del af rummet producere samme felt som givne, virkelige fysiske kilder. Det er i denne sammenhæng magnetiske kilder benyttes - som et bekvemt matematisk hjælpemiddel.

Udledningen af Biot-Savarts lov fra Maxwell's ligninger på _differentiel_ form tager udgangspunkt i Gauss lov for det magnetiske felt. Den udsiger, at divergensen af B-feltet er nul. Dette betyder, såfremt permeabiliteten er konstant, at H-feltet kan skrives som rotationen af et vektorpotential. Det er dette vektorpotential, der danner udgangspunkt for de videre regninger.

Okay fixer, jeg har ikke styr på de vektoroperatorer du nævner her, så jeg tror bare jeg vil sidde og lege lidt mere med det, og se om jeg kan komme frem til noget konstruktivt...

Den side, jeg tænkte på var:
http://instruct.tri-c.edu/fgram/web/poles.htm

Men jeg kan stadig ikke forstå, hvorfor man kan introducere en størrelse, som i princippet er imaginær, og komme frem til en - i dette tilfælde - almengyldig formel, som KAN udledes af impiriske love på differentialform?

Det skyldes, at hvis man kan konstruere et sæt fiktive kilder, der udstråler præcist det samme felt som det man i virkeligheden iagttager, så gør det jo ingen forskel i regningerne om feltet er genereret af de virkelige eller de ækvivalente, uvirkelige kilder. Da feltet er ens i de to tilfælde er det helt tilladeligt at anvende et sæt ækvivalente - omend ufysiske - kilder i sin model.

Apertureksmplet, som jeg nævnte, går ud på følgende. Forestil dig et stykke af en bølgeleder med en kilde i. Det kunne f.eks. være et stykke rektangulært kobber med en Hertz-dipol indeni. Vi ønsker at vide hvilket felt denne bølgeleder udstråler. Istedet for at løse feltproblemet i _hele_ rummet kan man udnytte at for en sådan bølgeleder kender man på forhånd feltet. Da feltet således kendes i aperturen - d.v.s. i bølgelederens åbning - kan man beregne et sæt ækvivalente elektrikse og magnetiske ladningsfordelinger i aperturen. Disse eksisterer naturligvis ikke i virkeligheden, men matematisk er de helt ækvivalente med feltet i aperturen fordi de udstråler samme felt som det virkelige. Det udstrålede felt er således helt bestemt af feltet i aperturen og vi kan ikke se forskel på om det er genereret af en Hertz-dipol inde i bølgelederen eller en fiktiv ladningsfordeling i aperturen.

Man kan sammenligne det med iagttagelser af f.eks. Jorden's tyngdefelt. Lad os sige vi er interesserede i at beregne gravitationsfeltet i afstande fra jordoverfladen og udefter. Vi er altså ikke interesserede i gravitationsfeltet inde i Jorden. Da er det for vores beregningsmodel helt ligegyldigt om vi tænker os al Jordens masse samlet i centrum eller om den er jævnt fordelt over hele jordkuglen. Vi ville udefra ikke kunne se forskel på gravitationsfeltet genereret af disse to situationer. Vi kan derfor uden modstrid anlægge den helt ufysiske tolkning at Jorden's tyngdefelt skabes af en punktmasse i jordcenteret.