Matematik
Rumgeometri- hjælp
25. januar 2006 af
Alima (Slettet)
Godaften.. Jeg sidder med en lille opgave vedrørende vektorer i rummet..
Opgaven lyder:
en plan er givet ved ligningen 2x-y+z-4=0. Bestem en parameterfremstilling for denne plan.
Altså jeg ved, at der gælder følgende:
En plan, som indeholder punktet P(x0,yo,zo) og udspændes af vektorerne u = (u1,u2,u3) og v = (v1,v2,v3) har parameterfremstillingen
x x0 u1 v1
y yo +s* u2 +t* v2
z zo u3 v3
Men jeg ved ikke helt hvordan jeg griber problemet an, når jeg har planen givet ved en ligning som ovenviste?
Håber, at der er nogle som kan give nogle hints.
Opgaven lyder:
en plan er givet ved ligningen 2x-y+z-4=0. Bestem en parameterfremstilling for denne plan.
Altså jeg ved, at der gælder følgende:
En plan, som indeholder punktet P(x0,yo,zo) og udspændes af vektorerne u = (u1,u2,u3) og v = (v1,v2,v3) har parameterfremstillingen
x x0 u1 v1
y yo +s* u2 +t* v2
z zo u3 v3
Men jeg ved ikke helt hvordan jeg griber problemet an, når jeg har planen givet ved en ligning som ovenviste?
Håber, at der er nogle som kan give nogle hints.
Svar #1
26. januar 2006 af fixer (Slettet)
Til parameterfremstillingen skal fremskaffes to lineært uafhængige vektorer, u og v, beliggende i planen (egtl. parallelle med planen) samt et punkt indeholdt i planen.
Punktet fremskaffes nemt ved at sætte f.eks. x=y=0 og få z=4. Planen indeholder altså punktet (0,0,4).
De to vektorer u og v kan skaffes ved eksempelvis at betragte planens skæring med xy-planen og xz-planen. Der vil være tale om skæringslinier og en retningsvektorerne for enhver af disse skæringslinier må selvsagt være parallel med planen - skæringslinierne indeholdes jo af planen.
Skæringslinie for planens skæring med xy-planen (z=0):
I: 2x-y-4=0
Skæringslinie for planens skæring med xz-planen (y=0):
II: 2x+z-4=0
En retningsvektor for linie I er u=(1,2,0), for linie II v=(-1,0,2).
En parameterfremstilling for planen er derfor
r(t)=(0,0,4)+s*u+t*v, (s,t) E R^2
Bemærk, som kontrol ses at vektorproduktet u x v netop er lig en normalvektor for planen, n=(2,-1,1).
Punktet fremskaffes nemt ved at sætte f.eks. x=y=0 og få z=4. Planen indeholder altså punktet (0,0,4).
De to vektorer u og v kan skaffes ved eksempelvis at betragte planens skæring med xy-planen og xz-planen. Der vil være tale om skæringslinier og en retningsvektorerne for enhver af disse skæringslinier må selvsagt være parallel med planen - skæringslinierne indeholdes jo af planen.
Skæringslinie for planens skæring med xy-planen (z=0):
I: 2x-y-4=0
Skæringslinie for planens skæring med xz-planen (y=0):
II: 2x+z-4=0
En retningsvektor for linie I er u=(1,2,0), for linie II v=(-1,0,2).
En parameterfremstilling for planen er derfor
r(t)=(0,0,4)+s*u+t*v, (s,t) E R^2
Bemærk, som kontrol ses at vektorproduktet u x v netop er lig en normalvektor for planen, n=(2,-1,1).
Skriv et svar til: Rumgeometri- hjælp
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.