Matematik
Geometri
07. februar 2006 af
Jeg_er_mig (Slettet)
Der er givet en kurve ved
a : I=]0, Pi[ -> R^2
hvor de har sat
a(t)=(sin(t), cos(t)+ln(tan(t/2)))
Her er t den vinkel som y-aksen danner med a'(t).
Opgaven siger så at jeg skal vise at
* a er en regulær, glat parametriseret kurve på nær i t=Pi/2.
* længden af tangentstykket fra et punkt på kurven (som de kalder en "tractrix") til y-aksen er konstant lig med 1.
Mit bud på en løsning til den første:
Da tan(t/2)>0 for alle t i I er ln(tan(t/2)) veldefineret. Dvs. at a er veldefineret og da der er tale om en sammensætning af trigonometriske funktioner ses det nemt at a er vilkårligt mange gange differentiabel.
Efter lidt regning finder man at
a'(t) = (cos(t), cos^2(t)/sin(t))
Da cos(t)!=0 for alle t i I\\{Pi/2} og sin(t)>0 for alle t i I betyder det at a'(t)!=0 for alle t i I\\{Pi/2}. Dermed har jeg vist del 1..hvis det altså er rigtigt det jeg har gjort.
Jeg kan ikke rigtig finde ud af del 2 så håber at nogen kan hjælpe mig med den.
a : I=]0, Pi[ -> R^2
hvor de har sat
a(t)=(sin(t), cos(t)+ln(tan(t/2)))
Her er t den vinkel som y-aksen danner med a'(t).
Opgaven siger så at jeg skal vise at
* a er en regulær, glat parametriseret kurve på nær i t=Pi/2.
* længden af tangentstykket fra et punkt på kurven (som de kalder en "tractrix") til y-aksen er konstant lig med 1.
Mit bud på en løsning til den første:
Da tan(t/2)>0 for alle t i I er ln(tan(t/2)) veldefineret. Dvs. at a er veldefineret og da der er tale om en sammensætning af trigonometriske funktioner ses det nemt at a er vilkårligt mange gange differentiabel.
Efter lidt regning finder man at
a'(t) = (cos(t), cos^2(t)/sin(t))
Da cos(t)!=0 for alle t i I\\{Pi/2} og sin(t)>0 for alle t i I betyder det at a'(t)!=0 for alle t i I\\{Pi/2}. Dermed har jeg vist del 1..hvis det altså er rigtigt det jeg har gjort.
Jeg kan ikke rigtig finde ud af del 2 så håber at nogen kan hjælpe mig med den.
Svar #1
07. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)
Jeg har tænkt på at jeg måske skal bruge noget med |a'(t)|, men kan ikke rigtig komme i gang.
Svar #3
08. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)
Prøver lige at opdatere tråden igen i håb om at der skulle være nogle kloge og venlige natteravne som kan hjælpe mig.
Svar #4
08. februar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
#0:
Ad 1)
Det ser fornuftigt ud.
Ad 2)
Under antagelse af at jeg har forstået dig korrekt, kan du gøre som følger:
Projicer punktet (x(t),y(t)) ind på y-aksen. Så får du en retvinklet trekant hvor den ene katete har længden x(t) og den anden har en ukendt længde; lad os kalde denne s. Ved at bruge sinusrelationerne på den omtalte retvinklede trekant, fås følgende:
sin(t)/x(t) = sin(Pi-t)/s => s = sin(Pi-t)/sin(t)*x(t)
Du ved at x(t) = sin(t), så
s = sin(Pi-t) = cos(t)
Så er det bare at bruge Pythagoras' sætning for at bestemme længden af hypotenusen, hvilket netop er den i opgaven søgte afstand (lad os kalde den L):
L² = x²(t) + s² = sin²(t) + cos²(t) = 1
hvoraf det ønskede følger direkte.
Ad 1)
Det ser fornuftigt ud.
Ad 2)
Under antagelse af at jeg har forstået dig korrekt, kan du gøre som følger:
Projicer punktet (x(t),y(t)) ind på y-aksen. Så får du en retvinklet trekant hvor den ene katete har længden x(t) og den anden har en ukendt længde; lad os kalde denne s. Ved at bruge sinusrelationerne på den omtalte retvinklede trekant, fås følgende:
sin(t)/x(t) = sin(Pi-t)/s => s = sin(Pi-t)/sin(t)*x(t)
Du ved at x(t) = sin(t), så
s = sin(Pi-t) = cos(t)
Så er det bare at bruge Pythagoras' sætning for at bestemme længden af hypotenusen, hvilket netop er den i opgaven søgte afstand (lad os kalde den L):
L² = x²(t) + s² = sin²(t) + cos²(t) = 1
hvoraf det ønskede følger direkte.
Skriv et svar til: Geometri
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.