Matematik

Generel differentialkvotient

15. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Hejsa alle sammen!

Jeg sidder og er ved at forsøge at finde et udtryk for den n'te afledede af

e^(a*x^2)

med hensyn til x, men jeg kan ikke rigtig finde ud af det. Det ser ud som om man skal dele det op i to tilfælde:

a) n ulige
b) n lige

Jeg har sat Maple til at regne på det (se http://peecee.dk/?id=29010). Mit problem er at jeg ikke kan finde et mønster i koefficienterne inde i parentesen, selvom programmet har faktoriseret dem for mig.

Svar #1
15. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Slet ingen som kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. februar 2006 af Madsst (Slettet)

Det er sådan set ret simpelt hvis du regner på det i hånden. Men kan godt se at du ikke kommer med de udregner din computer har lavet.

hvis
f(x)=e^(ax^2)=>
f'(x)=(2ax)e^(ax^2)
f''(x)=(2^2)(a^2)(x^2)e^(ax^2)
f'n'(x)=(2^n)(a^n)(x^n)e^(ax^2)

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. februar 2006 af Madsst (Slettet)

Hov. Pinligt :) Det er jo helt forkert :)

Svar #4
15. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Ja det ser lidt mystisk ud :)

Andre som kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. februar 2006 af sigmund (Slettet)

På

http://functions.wolfram.com/01.03.20.0005.01

ser du resultatet, men jeg ved ikke om du kan bruge det til noget.

Information om den funktion F(), der optræder i formlen, findes her

http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

Jeg har ikke sat mig ind i det, men jeg tvivler på at du kan bruge det til noget.

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Præcision af #5:

Det kommer selvfølgelig an på, hvad formålet med opgaven er.

Med 'det' i sætningen

"... men jeg tvivler på at du kan bruge det til noget."

mener jeg det sidste link i #5.

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. februar 2006 af fixer (Slettet)

Konfluent hypergeometriske funktioner er særdeles anvendelige idet en lang række af de specielle funktioner, samt integraler og differentialer heraf fremkommer for særlig valg af parametrene.

Ved at udvikle sådanne hypergeometriske funktioner i rækker af Chebyshev-polynomier af første eller anden art kan man med lidt snilde opbygge algoritmer til beregning af funktionsværdier af den funktion, som den hypergeometriske funktion repræsenterer.

Mange computeralgoritmer til beregning af f.eks. Bessel, Hankel, Ker, Kei o.m.a. funktioner hviler i sidste ende på dette princip.

Jeg har selv engang i mit eksamensprojekt lavet et bibilotek af algoritmer til alle typer af Besselfunktioner. Meget spændende.

Gymnasiestof er det dog ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Ja, det lyder spændende, men gymnasiestof er det sandelig ikke.

Svar #9
15. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Tusind tak sigmund og fixer, men det er ikke helt det jeg søger. Jeg vil gerne det have med en konstant a foran ... hvis I kan hjælpe vil jeg blive meget glad.

Jeg har fundet noget tilsvarende på nettet hvor den n'te afledede af sqrt(x) er lig med

(-1)^(n+1) * 2^(-n) * produkttegn(fra k=1 til n-1)[(2k-1) * x^((1-2n)/2)]

Svar #10
16. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Slet ingen?

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. februar 2006 af fixer (Slettet)

#9
Jo, det _er_ det du søger. Det at den n'te afledede af sqrt(x) kan angives på denne simple facon indebærer ikke, at det samme gør sig gældende for ae^(x^2). Den er betydeligt mere giftig idet differentialet hurtigt udvikler sig til summer af produktled. Linket i #5 er sådan set det pæneste man kan komme det.

Svar #12
16. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Det er e^(a*x^2) og ikke a*e^(x^2) ... men under alle omstændigheder kan man så slet ikke opskrive et udtryk for den sum af produktled som du snakker om? Altså noget med et produktegn inden i et sumtegn ... hvis n nu er lige, vil den (2*n)'te afledede så ikke komme til at se sådan her ud

2^n * a^n * e^(a*x^2) * sumtegn(fra k=0 til n)[a^k * x^(2*k) * produkttegn(...)[...]]

hvor jeg så gerne vil have bestemt produkttegn(...)[...].

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. februar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

Ved at differentiere f(x) = exp(ax²) nogle gange, fås et udtryk på formen

d^n[f(x)]/dx^n = P_n(x)*f(x)

hvor P_n(x) er et polynomium, som vil opfylde følgende rekursive ligning:

P_(n+1)(x) = d[P_n(x)]/dx + 2ax*P_n(x)

Jeg ved ikke om dette kan bruges til noget, men prøv at arbejde lidt med det.

Svar #14
16. februar 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg synes ikke lige jeg kan komme videre ... kan en af jer måske hjælpe mig (sigmund, fixer og Dominik Hasek)?

Brugbart svar (0)

Svar #15
20. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Har du prøvet at stille det samme spørgsmål på www.physicsforums.com? Jeg ved ikke om du kommer videre, men bare for at se hvad svar du får.

Skriv et svar til: Generel differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.