Matematik
Hjælp til matematik
16. februar 2006 af
gahle (Slettet)
Eksamensopgave fra dec. 2000.
7a
I et koordinatsystem er givet to cirkler C1 og C2. C1 er enhedscirklen med centrum i O(0,0), og C2 er cirklen med centrum i B(3,0) og radius 2.
En anden linje m med positiv hældningskoefficient skærer C1 i punktet A(-1,0) og er tangent til C2. Det andet skæringspunkt mellem m og C1 kaldes P.
Bestem koordinatsættet til punktet P.
Det er så her jeg står af. Har slet ingen idé overhovedet til hvordan den skal løses :S.
Jeg vil gerne finde en ligning for linien, men da jeg kun kender til beliggenheden af det ene punkt ved jeg ikke hvordan jeg skal finde en ligning for linien. Den eneste oplysning jeg kan finde er at det gælder for ligningen at b=a i linjens ligning y=ax+b.
7a
I et koordinatsystem er givet to cirkler C1 og C2. C1 er enhedscirklen med centrum i O(0,0), og C2 er cirklen med centrum i B(3,0) og radius 2.
En anden linje m med positiv hældningskoefficient skærer C1 i punktet A(-1,0) og er tangent til C2. Det andet skæringspunkt mellem m og C1 kaldes P.
Bestem koordinatsættet til punktet P.
Det er så her jeg står af. Har slet ingen idé overhovedet til hvordan den skal løses :S.
Jeg vil gerne finde en ligning for linien, men da jeg kun kender til beliggenheden af det ene punkt ved jeg ikke hvordan jeg skal finde en ligning for linien. Den eneste oplysning jeg kan finde er at det gælder for ligningen at b=a i linjens ligning y=ax+b.
Svar #1
16. februar 2006 af fixer (Slettet)
Da den søgte linie skal være tangent til C2 kan man bekvemt tage udgangspunkt i, at i røringspunktet er radiusvektor og en retningsvektor for linien normale.
Betegn røringspunktet mellem m og C2 med Q(x,y). Vi har da retningsvektoren for m
AQ = (x+1,y)
og radiusvektor i røringspunktet
BQ = (x-3,y)
Ortogonalitetsbetingelsen udtrykkes som
AQ*BQ = 0
hvilket resulterer i en kvadratisk form (d.v.s. et udtryk både med x² og y²-led).
Eliminer herefter leddet y² ved at udnytte ligningen for C2:
(x-3)²+y² = 4
Du vil se, dette fører til en simpel førstegradsligning i x. Med x bestemt findes y let og koordinaterne for røringspunktet Q er da bestemt. Så kan du vist selv fortsætte.
Betegn røringspunktet mellem m og C2 med Q(x,y). Vi har da retningsvektoren for m
AQ = (x+1,y)
og radiusvektor i røringspunktet
BQ = (x-3,y)
Ortogonalitetsbetingelsen udtrykkes som
AQ*BQ = 0
hvilket resulterer i en kvadratisk form (d.v.s. et udtryk både med x² og y²-led).
Eliminer herefter leddet y² ved at udnytte ligningen for C2:
(x-3)²+y² = 4
Du vil se, dette fører til en simpel førstegradsligning i x. Med x bestemt findes y let og koordinaterne for røringspunktet Q er da bestemt. Så kan du vist selv fortsætte.
Svar #2
16. februar 2006 af gahle (Slettet)
Måske har jeg alligevel ikke lært tilstrækkeligt nok til at løse denne opgave endnu :S Vi er nemlig ikke nået til vektor-vektor endnu :S
Men ellers tak for hjælpen :)
Men ellers tak for hjælpen :)
Svar #3
21. december 2006 af gahle (Slettet)
Den rigtige løsning skulle findes ved brug af formlen for afstand fra linje til punkt ikke ved brug af vektor-vektor..
Skriv et svar til: Hjælp til matematik
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.