Matematik
Udledning af matrix til at finde 2.gradspolynomium når tre punkter er givet
http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html
Nogen der ved hvordan det gøres?
Tak på forhånd!
Svar #1
16. februar 2006 af sigmund (Slettet)
Svar #3
16. februar 2006 af fixer (Slettet)
For parablen med symmetriakse parallel med y-aksen søges en funktion på formen
y = ax²+bx+x (*)
hvor (a,b,c) er ukendte konstanter. Der oplyses tre forskellige punkter (x1,y1), (x2,y2) og (x3,y3). Af (*) fås da tre ligninger med tre ubekendte
y1 = a(x1)²+b(x1)+c
y2 = a(x2)²+b(x2)+c
y3 = a(x3)²+b(x3)+c
hvortil vi kan addere ligningen (*).
Dernæst udnytter man, at et kvadratformet homogent ligningssystem kun har egentlige løsninger dersom dets determinant er nul.
Svar #4
16. februar 2006 af fixer (Slettet)
Glemte at tilføje, at man selvfølgelig kan benytte samme princip for ethvert n'te gradspolynomium når der oplyses n forskellige punkter.
Ligningssystemets determinant kaldes en Vandermonde matrix.
Du kan evt. google på det, der findes sikkert masser om det på nettet.
Svar #6
16. februar 2006 af Norn (Slettet)
Jeg er med indtil "hvortil vi kan addere..."
Jeg håber du vil hjælpe!
Svar #7
17. februar 2006 af fixer (Slettet)
y = ax²+bx+c (*)
Du er formodentligt med på, at hvis (*) skal være opfyldt for de tre givne, ikke co-lineære punkter, så resulterer det i de tre ligninger med tre ubekendte
y1 = a(x1)²+b(x1)+c
y2 = a(x2)²+b(x2)+c
y3 = a(x3)²+b(x3)+c
Her er de ubekendte størrelser konstanterne a, b og c som indgår i (*).
På dette sted ville det være smart hvis du er bekendt med matrixnotationen og determinanter. Determinanten for ovenstående ligningssystem kalder vi for D
| (x1)^2 x1 1 |
| (x2)^2 x2 1 | = D
| (x3)^2 x3 1 |
Løsningerne til ligningssystemet er så
a = A/D, b = B/D, c = C/D (**)
hvor A, B og C er determinanterne
| y1 x1 1 |
| y2 x2 1 | = A
| y3 x3 1 |
| (x1)^2 y1 1 |
| (x2)^2 y2 1 | = B
| (x3)^2 y3 1 |
| (x1)^2 x1 y1 |
| (x2)^2 x2 y2 | = C
| (x3)^2 x3 y3 |
Indsættes (**) i (*) fås så
y = (A/D)x^2+(B/D)x+(C/D) <=>
Dy = Ax^2+Bx+C <=>
Dy-Ax^2-Bx-C = 0 (***)
Vi sammenligner nu med determinanten
| x^2 x y 1 |
| (x1)^2 x1 y1 1 |
| (x2)^2 x2 y2 1 | = 0
| (x3)^2 x3 y3 1 |
og opløser den efter første række hvilket giver
(-A)x^2-Bx-C+Dy = 0 (****)
Bemærk at i (****) fremkommer faktoren faktoren til x^2 med søjle 1 og 2 ombyttet i forhold til udtrykket for A ovenfor. Men ombytning af søjler (og rækker) skifter blot fortegnet på determinanten. Derfor bliver faktoren til x^2 netop -A.
Sammenholdes nu (***) med (****) ses at udtrykkene er identiske.
Svar #8
17. februar 2006 af Norn (Slettet)
Mange tak for hjælpen!
Svar #9
17. februar 2006 af Norn (Slettet)
Svar #10
17. februar 2006 af fixer (Slettet)
Du må desværre begive dig ud i en grundlæggende bog om lineær algebra. Det vil føre for vidt at skulle undervise i det her.
Skriv et svar til: Udledning af matrix til at finde 2.gradspolynomium når tre punkter er givet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.