Side 2 - taylor polynomier med rest

#20

ja men skal det ikke indgå. Da formlen er:

|Rnln(x)|=|ln(x)-Tnln(x)|<(ligmed) 1/(n+1)*(x-1)^n+1

hvad skal indgå?? Jeg er ikke med på hvad du spørger om. Jeg vil rigtig gerne hjælpe dig, men du bliver nød til at stille konkrete og tydeligt formuleret spørgsmål.

#20
Hvor kan jeg så slutte at 

at ln(x)  og Tnln(x) udfra resultatet i #12?

Jeg er ikke med på hvad du konkret spørger om her? Resultatet i #12 bruges til at vise gyldigheden af uligheden i beregningerne af  i svar #11

er med nu. Mange tak for hjælpen

Udviklingen er fra 0 så a er 0 Det synes at have givet nogen forvirring. Restleddet er Rn(x) = f⁽ⁿ⁺¹(1+u)*xⁿ⁺¹/(n+1)! hvor u er et tal mellem 0 og x. Med den afledede for logarimefunktionen sat ind får man

Rn(x) = (x/(1+u))ⁿ⁺¹/(n+1) Da u er positivt er x/(n+1) < 1 hvorfor rækken er konvergent. Det er nemt at udvide det til x≥½. En anden formel for restleddet giver at det kan udvides til -1<x≤1

peter lind du kan ikke udvikle ln(x) omkring x = 0. Men du kan derimod udvikle ln(1+x) omkring x = 0.

Det giver mest mulig mening at opskrive Taylorrækken for ln(x) omkring x = 1, eftersom at dette giver den største konvergensradius for Taylorrækken. Hvilket er identisk til at opskrive Taylorrækken for ln(1+x) med udviklingspunkt i x=0.

Jeg har heller ikke udviklet ln(x) omkring 0 men udviklet ln(1+x) omkring 0, som alle gør. Det kan faktisk heller ikke lade sig gøre da logarimefunktionen ikke er defineret for x=0

Hvordan bidrager dit svar #23 isåfald med ny information og/eller klarhed til besvarelsen af opgaven, som ikke allerede er tilstede i svar #11, #12 og #14?

Og hvad mener du med

#23
Udviklingen er fra 0 så a er 0 Det synes at have givet nogen forvirring.

Hvor har der været forviring omkring udviklingspunktet? Det har hele tiden været tydeligt at man undersøger restledet hørende til Taylorpolynomiet for ln(x) (med udviklingspunkt x = 1) for x > 1.

At undersøge Taylorpolynomiet for ln(1+x) omkring x = 0 er identistisk til at undersøge ln(x) omkring x = 1. Jeg vil give dig medhold i at samtlige beregninger udført for ln(1+x) er mere æstetiske (men det gør ikke beregningerne nemmere), men da opgaven spørger til ln(x) vil jeg mene at det er at ydeligere komplicere en besvarelse heraf at begynde at se på ln(1+x). Ihvertfald så længe at sajana stadig er grøn i teknikerne og teoremerne omhandlende Taylorpolynomiet.

Jeg synes det er din forklaring der er rodet; mens min er let at forstå.

Ja, min besvarelse blev kun lang og måske roddet. Dette skyldes til dels at opgaven til at begynde med ikke var korrekt gengivet (der manglede vigtig information omkring for hvilke x man betragter restledet) og til dels at jeg skulle redegøre for mange trivielle mellemregninger (bl.a. hvorfor vise uligheder er sande).

Men i det mindste er min besvarelse ikke fyldt med fejl.

#23
Restleddet er Rn(x) = f⁽ⁿ⁺¹(1+u)*xⁿ⁺¹/(n+1)! hvor u er et tal mellem 0 og x.

Nej, Lagranges formel for restledet til det n'te ordens Taylorpolynomium for ln(1+x) omkring punktet x=0 er

for et .

#23
Rn(x) = (x/(1+u))ⁿ⁺¹/(n+1) 

Også forkert, istedet har du at

#23
Da u er positivt er x/(n+1) < 1 hvorfor rækken er konvergent.

Korrekt, men opgaven lød på at vise at restledet  til det n'te ordens Taylorpolynomium for ln(x) omkring punktet x=1 opfylder følgende ulighed

                        .

Konvergens spørgsmålet blev først (implicit) stillet efterfølgende.