Matematik

taylor polynomier med rest

07. oktober 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

Argumenter, ud fra Taylors formel med restled, for at

|Rnln(x)|=|ln(x)Tnln(x)|< 1/(n+1)*(x-1)^n+1

Jeg ved at

Rnf(x)=f(n+1)(c)/(n+1)!*(x-1)^n+1

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brug at den $n+1$ afledte af $\ln(x)$ er givet ved

$\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\ln(x) = \frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$

Hvorfor at Lagrange restledet til Taylorrækken for $\ln(x)$ omkring $x=1$ er givet ved

$\begin{align*} R_n[\ln(x)] &= \frac{\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\ln(x)\Big\vert_{x=c}}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}\\ &= (-1)^n\frac{n!}{(n+1)!}c^{-(n+1)}(x-1)^{n+1} \\ &= (-1)^n\frac{1}{n+1}c^{-(n+1)}(x-1)^{n+1} \end{align*}$

for et tal $1<c\leq2$ . Brug nu at

$\forall n\in\mathbb{N}_0\,\forall c\in(1,\infty)\ : 0<\ c^{-(n+1)}<1$

hvorfor at

$\begin{align*} \big\vert R_n[\ln(x)]\big\vert &= \bigg\vert(-1)^n\frac{1}{n+1}c^{-(n+1)}(x-1)^{n+1}\bigg\vert \\ &= \bigg\vert\frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}\bigg\vert c^{-(n+1)} \\ &< \frac{1}{n+1}\Big\vert(x-1)^{n+1}\Big\vert\end{align*}$

–– Husk at Taylorrækken for ln(x) omkring x=1 kun konvergere imod ln(x) for 0<x≤2.

Svar #2
07. oktober 2018 af sajana

jeg forstår ikke de sidte to trin. Hvordan kommer du frem til uligheden udfra ovenstående?

Hvorfor har du den numeriske værdi af fx (x-1)^n+1?

Hvad vil det sige at |1/n+1(x-1)^n+1|c^-(n+1) er c^-(n+1) ganget på?

også i den aller første linje hvorfro står der x=c? ( altså lige her Rn[lnx)]=dn+1/dxn+1*ln(x)x=c?

Vedhæftet fil:plplp.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Først, før vi begynder på dine spørgsmål i #2, på hvilket interval undersøger du Taylorpolynomiet for ln(x) med udviklingspunkt i x=1 ?

Svar #4
07. oktober 2018 af sajana

i min opgave står der for x>1 dvs ]1;uendelig[

Svar #5
07. oktober 2018 af sajana

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jo, dette er største mulige interval at hvorpå at Taylorrækken for ln(x) er konvergent. Men dette betyder ikke at du undersøger Taylorpolynomiet for ln(x) på hele dette interval.

Svar #7
07. oktober 2018 af sajana

Right var det det du skrev før med at det er for 0<x≤2.

Brugbart svar (1)

Svar #8
07. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#4
i min opgave står der for x>1 dvs ]1;uendelig[

Perfekt.

Mindst et af dine spørgmål i #2 skyldes min notation i #1. Lad os derfor indføre notationen at

$f(x) = \ln(x)\,,\quad\text{for }x>1$ .

Er du med på at den n+1 afledte af f(x) er bestemt ved

$f^{n+1}(x) = (-1)^n\cdot n!\cdot x^{-(n+1)}\,,\quad\text{for }x>1$

Hvis ja, er du da også med på at Lagrange restledet til Taylorpolynomiet for f(x) omkring x=1 er givet ved

$\begin{align*} R_n &= \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1} \\ &= (-1)^n\frac{c^{-(n+1)}}{n+1}(x-1)^{n+1} \end{align*}$

for et eller andet $c>1$ (bemærk at dette er middelværdisætningen i forklædning)

Svar #9
07. oktober 2018 af sajana

Det er jeg med på

Svar #10
07. oktober 2018 af sajana

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Perfekt, ideen er at finde et tal $M$ således at der for samtlige n = 0,1,2,3,... gælder at

$\big\vert c^{-(n+1)}\big\vert<M$

for alle $c>1$ . Bemærk først at funktionen

$g(c) = c^{-(n+1)}\,,\quad\text{for }c>1$

er en strengt positiv og aftagende funktion. Hvor for at du kan slutte at

$\begin{align*} g(c)&<1^{-(n+1)} \\ &= 1 \end{align*}$

for smatlige $\begin{align*} c>1 \end{align*}$ . Og dermed har du at

$\begin{align*} \big\vert c^{-(n+1)}\big\vert<1\,,\quad\text{for alle }c>1 \end{align*}$

(dvs. at M = 1).

Bruger vi nu denne oplysning i beregningerne for Lagrange restledet, har vi at

$\begin{align*} \vert R_n\vert &= \bigg\vert(-1)^n\frac{c^{-(n+1)}}{n+1}(x-1)^{n+1}\bigg\vert \\ &= \underbrace{\big\vert(-1)^n\big\vert}_{=1}\cdot\underbrace{\bigg\vert\frac{1}{n+1}\bigg\vert}_{\tfrac{1}{n+1}}\cdot\underbrace{\big\vert(x-1)^{n+1}\big\vert}_{(x-1)^{n+1}}\cdot\big\vert c^{-(n+1)}\big\vert \\ &= \frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}\underbrace{\big\vert c^{-(n+1)}\big\vert}_{<1} \\ &<\frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}\cdot 1 \\ &=\frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}\end{align*}$

tredje lighed er gyldig fordi at der for samtlige n = 0,1,2,... gælder at

$(x-1)^{n+1}>0\,,\quad\text{for alle }x>1$

– Giver dette bedre mening?
– Skriv hvis du har spørgsmål ;-)

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Hvis du endnu er lidt uvant til uligheder, så kan dette måske være til hjælp.

Begynd med uligheden ovenfor

$\big\vert c^{-(n+1)}\big\vert<1$

Gang nu på begge sider af uligheden med $\tfrac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}$ , hvorved at du finder

$\frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}\cdot\big\vert c^{-(n+1)}\big\vert < \frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}$

hvilket giver uligheden i beregningerne af $\vert R_n\vert$ i svar #11.

Svar #13
08. oktober 2018 af sajana

Det giver mening nu. Mange taak. Jeg skal udregne for x=2 og forklare hvad forskellen er på x>2 og x<2. Skal jeg bare indsætte x ind? hvad er n så?

Brugbart svar (0)

Svar #14
08. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#13
Det giver mening nu. Mange taak. Jeg skal udregne for x=2 og forklare hvad forskellen er på x>2 og x<2. Skal jeg bare indsætte x ind? hvad er n så?

Den afgørende faktor i Lagrange restledet er

$(x-1)^{n+1}$

fordi for x>2 har du at (x-1) > 1 og dermed at

$(x-1)^{n+1}>1$

hvorfor at

$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert R_n\vert = +\infty\,,\quad\text{for alle }x>2$

Dette betyder at Taylorrækken for ln(x) ikke konvergere til ln(x) for x > 2.

Du kan tilsvarende vise at

$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert R_n\vert = 0\,,\quad\text{for alle }1<x\leq2$

ved at der generalt gælder at

$(x-1)^{n+1}\leq 1\,,\quad\text{for all }x\in(1,2]$ .

Hvorfor at du kan slutte at Taylorrækken for ln(x) konvergere til ln(x) for 1 < x ≤ 2.

Svar #15
08. oktober 2018 af sajana

mange taaak for alt din hjælp swpply. Får altid noget ud af det og forstår det meget bedre nu :)

Svar #16
08. oktober 2018 af sajana

men det jeg så ikke forstår i #12 hvad er ln(x) og tnln(x) så?

Svar #17
08. oktober 2018 af sajana

altså hvordan ender man med ln(x)-t(ln(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #18
08. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#16
men det jeg så ikke forstår i #12 hvad er ln(x) og tnln(x) så?

Hverken ln(x) eller dets n'te ordens Taylorpolynomium ingår ikke i svar #12. Derfor er jeg ikke rigtigt sikker på hvad du mener med dit spørgsmål. Kan du evt. uddybe ??

Brugbart svar (0)

Svar #19
08. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Altså du har at det n'te ordens Taylorpolynomium tilhørende ln(x) omkring x=1 er givet ved

$T_n[\ln](x;1) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{(x-1)^k}{k}$

og mere generalt har du at

$\ln(x) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{(x-1)^k}{k} + R_n[\ln](x;1)$

og fra svar #14 kan du slutte at

$\ln(x) = \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}\,,\quad\text{for alle } x\in[1,2]$

Svar #20
08. oktober 2018 af sajana

ja men skal det ikke indgå. Da formlen er:

|Rnln(x)|=|ln(x)-Tnln(x)|<(ligmed) 1/(n+1)*(x-1)^n+1

Hvor kan jeg så slutte at

at ln(x) og Tnln(x) udfra resultatet i #12?

Forrige 1 2 Næste

Der er 29 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.