Matematik
opgaver med hjælpemidler
21. marts 2006 af
PN (Slettet)
Jeg har lige 2 opgave, som jeg desværre ikke husker hvordan man regner. Jeg beder hurtigst muligt hjælp, da jeg skal aflevere opgaverne på fredag.
1) spørgsmålet: I et koordinatsystem er en parabel bestemt ved ligningen:
y = x^2 - x + 9/4
- Beregn koordinatsættet til parablens toppunkt T. (men hvordan gøres det uden b? :S)
En linje t1, er givet ved ligningen y = -4x
- Beregn afstanden fra punktet T til linjen t1.
- Gør rede for, at t1 er tangent til parablen i punktet P(-3/2, 6).
Parablen har endnu en tangent t2 med en ligninng af typen y = ax
- Bestem en ligning for t2.
2)
En funktion f er givet ved :
f(x)= 1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3
- Skitser grafen for f, og bestem monotoniforholdene for f.
GRafen for f har 2 vandrette tangenter.
- Bestem en ligning for hver af disse.
Grafen for f skærer førsteaksen i 3 punkter.
- Benyt grafregneren til at bestemme koordinatsættet til hvert af disse 3 punkter.
Håber i kan hjælpe mig, da matematik ikke er min stærkest side. :)
1) spørgsmålet: I et koordinatsystem er en parabel bestemt ved ligningen:
y = x^2 - x + 9/4
- Beregn koordinatsættet til parablens toppunkt T. (men hvordan gøres det uden b? :S)
En linje t1, er givet ved ligningen y = -4x
- Beregn afstanden fra punktet T til linjen t1.
- Gør rede for, at t1 er tangent til parablen i punktet P(-3/2, 6).
Parablen har endnu en tangent t2 med en ligninng af typen y = ax
- Bestem en ligning for t2.
2)
En funktion f er givet ved :
f(x)= 1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3
- Skitser grafen for f, og bestem monotoniforholdene for f.
GRafen for f har 2 vandrette tangenter.
- Bestem en ligning for hver af disse.
Grafen for f skærer førsteaksen i 3 punkter.
- Benyt grafregneren til at bestemme koordinatsættet til hvert af disse 3 punkter.
Håber i kan hjælpe mig, da matematik ikke er min stærkest side. :)
Svar #1
21. marts 2006 af Smeedy (Slettet)
Hmm det var mange spm og jeg ved ikke hvilke du har prob med men:
1)
Du kender b, denne er 1...
Afstanden mellem t1 og linien kan findes ved hjælp af en standard formel...
Diff. funktionen og brug formlen for en funktions tangent (f(x0)+f*(x0)*(x-x0)....
2)
For at finde monotoniforhold diff. du funktionen og laver en fortegnslinie...
Vandrette tangenter findes ud fra lokale estremumsteder, disse er fundet da du har lavet en fortegnslinie...
Håber det hjalp...
1)
Du kender b, denne er 1...
Afstanden mellem t1 og linien kan findes ved hjælp af en standard formel...
Diff. funktionen og brug formlen for en funktions tangent (f(x0)+f*(x0)*(x-x0)....
2)
For at finde monotoniforhold diff. du funktionen og laver en fortegnslinie...
Vandrette tangenter findes ud fra lokale estremumsteder, disse er fundet da du har lavet en fortegnslinie...
Håber det hjalp...
Svar #2
22. marts 2006 af TF (Slettet)
Husk at tangenten til en parabel er en ret linie
med y= ax+b og tangenten for et 3.gradspolynomium som i 2) er
en 2.gradsligning – det ses af eksponenten på x, der ved differentiering formindskes med 1.
y’ er tangentens hældning i et punkt, når y’=0 er der således vandret tanget.
ALTID!
y = x^2 - x + 9/4 (*)
Toppunktet ligger der hvor y’=0.
y’ = 2x-1 = 0, dvs. x=1/2
y(1/2) = (1/2)^2-1/2 +9/4 = 2
Toppunkt er derfor (1/2,2).
Afstanden fra en linie ax+by+c=0 til et punkt (x1,y1) er givet fra formelsamlingen:
afstand = a*x1+b*y1+c/(a^2+b^2)^(1/2) (**)
her er a= -4, b= 1 og c= 0 idet y= -4*x
dvs afstanden er (**) med disse værdier. Prøv selv.
Du ved at y’=2x-1 er tangentens hældning i ethvert punkt på parablen
I (-3/2,6) fås derfor en hældning på y'(-3/2)=–4.
Dvs nu er tangentens hældning a=-4 bevist.
Nu skal du vise at b=0, dvs at tangenten skærer i (0,0):
Da y’= delta y / delta x = (6-0)/(- 3/2 –0) = -4 må b være 0.
Bestem t2 er noget tricky:
Du ved at a = 2*x1-1 (***)
i punktet (x1,y1) og at
en linies ligning gennem et punkt (x1,y1) hedder
(y-y1) = a*(x-x1)
eller y= a*x + (-a*x1+y1) hvor (-a*x1+y1) normalt kaldes b.
dvs. (-a*x1+y1) =0 (****)
her da b=0.
Nu indsættes (*) med y=y1 0g x=x1 og (***) i (****) :
-2*(x1)^2+(x1)+(x1)^2-(x1)+9/4=0
< = >
-(x1)^2 = -9/4
< = >
x1 = +/- 3/2. Her ser du to løsninger hvor x1 = -3/2 er brugt for t1.
Dvs. at i x1 = 3/2 skærer den tangent t2 med y=ax.
Fra (***) fås a = 2*x1-1 = 2
Ligning for t2 : y = 2*x
2) Nu gør du som ovenfor: Differentier og sæt = 0 (vandret tangent).
Løs andengradsligningen og sæt de to værdier x1 og x2 ind i
f(x)= 1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3
De to tangent ligninger er y= y1 og y = y2.
Skæringspunkter mellem to funktioner findes ved at sætte dem lig hinanden.
f(x)=1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3=0 da førsteaksen har ligningen y=0.
med y= ax+b og tangenten for et 3.gradspolynomium som i 2) er
en 2.gradsligning – det ses af eksponenten på x, der ved differentiering formindskes med 1.
y’ er tangentens hældning i et punkt, når y’=0 er der således vandret tanget.
ALTID!
y = x^2 - x + 9/4 (*)
Toppunktet ligger der hvor y’=0.
y’ = 2x-1 = 0, dvs. x=1/2
y(1/2) = (1/2)^2-1/2 +9/4 = 2
Toppunkt er derfor (1/2,2).
Afstanden fra en linie ax+by+c=0 til et punkt (x1,y1) er givet fra formelsamlingen:
afstand = a*x1+b*y1+c/(a^2+b^2)^(1/2) (**)
her er a= -4, b= 1 og c= 0 idet y= -4*x
dvs afstanden er (**) med disse værdier. Prøv selv.
Du ved at y’=2x-1 er tangentens hældning i ethvert punkt på parablen
I (-3/2,6) fås derfor en hældning på y'(-3/2)=–4.
Dvs nu er tangentens hældning a=-4 bevist.
Nu skal du vise at b=0, dvs at tangenten skærer i (0,0):
Da y’= delta y / delta x = (6-0)/(- 3/2 –0) = -4 må b være 0.
Bestem t2 er noget tricky:
Du ved at a = 2*x1-1 (***)
i punktet (x1,y1) og at
en linies ligning gennem et punkt (x1,y1) hedder
(y-y1) = a*(x-x1)
eller y= a*x + (-a*x1+y1) hvor (-a*x1+y1) normalt kaldes b.
dvs. (-a*x1+y1) =0 (****)
her da b=0.
Nu indsættes (*) med y=y1 0g x=x1 og (***) i (****) :
-2*(x1)^2+(x1)+(x1)^2-(x1)+9/4=0
< = >
-(x1)^2 = -9/4
< = >
x1 = +/- 3/2. Her ser du to løsninger hvor x1 = -3/2 er brugt for t1.
Dvs. at i x1 = 3/2 skærer den tangent t2 med y=ax.
Fra (***) fås a = 2*x1-1 = 2
Ligning for t2 : y = 2*x
2) Nu gør du som ovenfor: Differentier og sæt = 0 (vandret tangent).
Løs andengradsligningen og sæt de to værdier x1 og x2 ind i
f(x)= 1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3
De to tangent ligninger er y= y1 og y = y2.
Skæringspunkter mellem to funktioner findes ved at sætte dem lig hinanden.
f(x)=1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 10/3=0 da førsteaksen har ligningen y=0.
Skriv et svar til: opgaver med hjælpemidler
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.