Matematik

Hjælp til differentialkvotienten for f(x)=b*a^x (eksponentiel vækst)

25. april kl. 13:41 af TaterTot8514 - Niveau: B-niveau

Hej alle.

Vi har idag fået eksamsspørgsmål, men der er en som jeg sidder lidt fast i.

Vi skal give en behandling af eksponentiel vækst, hvor vi herunder skal forklare om differentialkvotienten for f(x)=b*a^x, men jeg synes at jeg gang på gang sidder fast i den, lige meget hvor meget jeg prøver! Er der en af jer, som vil hjælpe mig til, hvordan jeg skal gøre?

På forhånd tusind tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. april kl. 14:58 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllllll}& \left ( a^x \right ){}'=\left ( e^{ln(a)\cdot x} \right ){}'=\left ( e^{\ln(a)\cdot x} \right ){}'\cdot \left ( \ln(a)\cdot x \right ){}'=e^{\ln(a)\cdot x}\cdot \ln(a)=a^x\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot a^x\\ \textup{som i den korte}\\ \textup{version er:}\\\\& \left ( a^x \right ){}'=\ln(a)\cdot a^x\qquad a>0\\ \textup{s\aa \ for}\\&{\color{Red} f(x)}=b\cdot a^x\\\\&f{\, }'(x)={\color{Red} \left (b\cdot a^x \right ){}'}=b\cdot \left (a^x \right ){}'=\; b\cdot \ln(a)\cdot a^x=\ln(a)\cdot \left ( b\cdot a^x \right )={\color{Red} \ln(a)\cdot f(x)} \end{}$

Svar #2
25. april kl. 15:02 af TaterTot8514

#1

Tusind tak for hurtigt svar!

Jeg skal bare lige høre, om dette er til HF? Havde fuldstændig glemt at skrive det med i opslaget. :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. april kl. 19:00 af AMelev

#2 Differentiation af sammensatte funktioner er ikke kernestof på B-niveau, men differentiation af f(a·x + b) er.
Se formelsamling side 20 (103).
Omskrivningen a = e^ln(a)og dermed a^x = (e^ln(a))^x , hvilket med potensregnereglen giver a^x = e^ln(a) ·^x hører også til kernestoffet.
Det er dog ikke alle, der vælgerr at bevis formlen for differentiation af a^xi undervisningen, selv om man har redskaberne til det.?

Men hvis du skal bevise den og ikke vil rode rundt i de to forskellige a'er, så omdøb formel (103) til
(f(c·x + d))' = c·f '(c·x + d).
Hvis du sætter f(x) = e^x, så har du, at a^x = e^ln(a) ·^x = f(ln(a)·x), svarende til at c = ln(a) og d = 0
Så får du iflg. (103), at (a^x)' = (f(ln(a)·x))' = ln(a)·f '(ln(a)·x)
Da f(x) = e^x, er f '(x) = e^x, så f '(ln(a)·x) = e^ln(a) ·^x = a^x, og altså er (a^x)' = ln(a)·a^x.

Se evt. denne vido, som dog benytter den genrelle regel for differentiation af sammensat funktion.

Ved differentiation af b·a^x benytttes bare formel (99)

Svar #4
25. april kl. 19:17 af TaterTot8514

#3

Det er helt rigtigt, men det er fordi vi skal have nogle af formlerne fra C-niveau med til mat B eksamensspørgsmålene, så det er vel egentlig mere rettet til matematik C på HF? Det eneste jeg ved er at det er eksponentiel vækst og forklare om differentialkvotienten, men det er da mest på B-niveau at man bruger differentialregning?

Men tusind tak for hjælpen nonetheless! :)

Skriv et svar til: Hjælp til differentialkvotienten for f(x)=b*a^x (eksponentiel vækst)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.