Matematik
Omskrevne og indskrevne kugler
15. maj 2006 af
Kraken (Slettet)
Forbereder lige noget rumgeometri til skriftlig studentereksamen i matematik, og sidder med bogen "Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik" for "3-årigt forløb til A-niveau".
Jeg har reflekteret lidt over opgave 3.105 og opgave 3.111. De lyder sådan her:
Opgave 3.105:
En pyramide er fastlagt ved at have grundfladen med følgende koordinater til hjørnerne: O(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,0) og C(0,4,0). Dertil er toppunktet D(2,2,10).
Bestem vinklen som en af pyramidens sideflader danner med grundfladen OABC?
"Dett er et simpelt spørgsmål, idet en af sidefladernes normalvektor bestemmes som et vektorprodukt, og grundfladen ligger i x,y-planen, så normalvektoren er f.eks. (0,0,1). Derefter findes vinklen mellem de to vektorer..."
Bestem en ligning for den kugle, der indeholder alle pyramidens hjørnespidser O, A, B, C og D.
"Der må her være tale om en omskrevet kugle, men hvordan skal centrum bestemmes? Når centrum kendes er radius en smal sag at finde, men jeg går ud fra at man evt. skal bruge koordinatsættet til det punkt der ligger halvejs oppe på pyramidens højde som centrum, og dette punkt findes ved noget vektorregning? Er det fremgangsmåden her, og er det sådan man skal gøre i alle lignende tilfælde?"
Ang. opg. 3.111 kan vi diskutere den når 3.105 er løst.
Jeg har reflekteret lidt over opgave 3.105 og opgave 3.111. De lyder sådan her:
Opgave 3.105:
En pyramide er fastlagt ved at have grundfladen med følgende koordinater til hjørnerne: O(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,0) og C(0,4,0). Dertil er toppunktet D(2,2,10).
Bestem vinklen som en af pyramidens sideflader danner med grundfladen OABC?
"Dett er et simpelt spørgsmål, idet en af sidefladernes normalvektor bestemmes som et vektorprodukt, og grundfladen ligger i x,y-planen, så normalvektoren er f.eks. (0,0,1). Derefter findes vinklen mellem de to vektorer..."
Bestem en ligning for den kugle, der indeholder alle pyramidens hjørnespidser O, A, B, C og D.
"Der må her være tale om en omskrevet kugle, men hvordan skal centrum bestemmes? Når centrum kendes er radius en smal sag at finde, men jeg går ud fra at man evt. skal bruge koordinatsættet til det punkt der ligger halvejs oppe på pyramidens højde som centrum, og dette punkt findes ved noget vektorregning? Er det fremgangsmåden her, og er det sådan man skal gøre i alle lignende tilfælde?"
Ang. opg. 3.111 kan vi diskutere den når 3.105 er løst.
Svar #1
15. maj 2006 af Kraken (Slettet)
Angående bestemmelsen af punktet på den halve højde har jeg tænkt mig, at anvende vektoren (OD), og projicere denne ned i xy-planen (projketion af vektor på plan). Projektionen kalder vi (OD') og vektoren (D'D) der strækker sig fra punktet D's projektion i planen til D er givet ved: (D'D)=(OD')-(OD). Koordinatsættet til den halve højde bliver så (O½D)=(½D'D)+(OD').
Dette må så være cirklens centrum...Er det korrekt?
Dette må så være cirklens centrum...Er det korrekt?
Skriv et svar til: Omskrevne og indskrevne kugler
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.