Sammenhæng mellem potens- og eksponentielvækst

eller der står " Du skal Specielt sammenligne potensvækst med eksponentielvækst"

...du erindrer sikkert, at en eksponentialfunktion
udtrykkes
y=b*a^x, hvor betegnelsen skyldes, at det er eksponenten, x, som varier, mens roden, a er konstant.

Hvis nu a udtrykkes som 1 plus noget mere, (1+r),
har du
udtrykket
y=b*(l+r)^x.

Hvis du KUN skal bruge (l+r)^x i sammenhænge, hvor x altid er hel, er n (numerus) måske mere velvagt,
hvorfor
y=b*(l+r)^n.

Dette er oftest tilfældet i sammenhænge, hvor du drøfter frem og tilbageskrivning af k(apitaler)
altså
har brug for tydeligt at sammenligne k til ét tidspunkt, k1, med k frem-/tilbageskrevet til et andet, k2,

k forsynet med et index (sub-script).

Hvis b skal betyde k til begyndelsestidspunktet - termin nr 0 - ville det nok være mere illustrativt at udskifte b med ko, y=ko*(1+r)^n.

Hvis y skal betyde k til et andet tidspunkt - n terminer før eller senere minus for før og plus for senere - ville det nok være mere illustrativt at udskifte y med kn (n som index),
så
y=ko*(1+r)^n
bli'r
til
kn=ko*(1+r)^n

#1
Jeg ville starte med at tegne de to funktioner, f.eks. b=1 og a=3 i:
fp(x) = b * x^a potens
fe(x) = b * a^x exponentiel

du vil se at exponentiel vækst er kraftigere end potensvækst for x -> oo.
I ovenstående eksempel vil de to funktioner tangere hinanden i (3,27). Men allerede for x = 4 vil fe(4) være (81-64)/64 ~ 27% større.

efter indlæg #1, som jeg først ser nu efter "indskudet" af #2, har jeg fået styrket mistanke om, at det er et andet spor:


I: eksponentiel vækst: y=b*a^x
og
II:potensvækst: y= b*x^a

umiddelbart svært at sige,
men
en logaritmering

III: log(y)=log(a)*x+log(b)
og
IV: log(y)=a*log(x)+log(b)
viser,
at forskellen ligger i, hvilket udtryk,
V: log(a)*x (taget fra III)
eller
VI: a*log(x) (taget fra IV),
der - for fastholdt a
vokser "mest", når x går mod uendelig
(praktisk: i sammenligningen at lade a være 10).
ALTSÅ:
er det log(10)*x eller 10*log(x),
d.v.s.
x eller 10*log(x) som vokser "mest" for
x gående mod uendelig?

en grafisk løsning
viser, at
for xfor 1.37og for x>10 vokser ............