eksponentialfunktioners egenskaber

Det er sgu meget at spørge om på få linjer. Logaritme- og eksponentialfunktioner er jo hinandens omvendete funktioner, og er begge strengt voksende. Du kan kun tage logaritmen til positive tal, mens eksponentialfunktioner har hele R som defitionsmængde.
Var det ikke nemmere for dig at kigge i din matematikbog og se, hvad der stod der? Det er vel også det, din lærer gerne vil høre?

jeg har rimligvis styr på næsten alt af det jeg spørger, men problemet er at jeg ikke ved hvordan man behandler eksponentialfunktioners egenskaber.

#1 Logaritme- og eksponentialfunktioner er enten strengt voksende eller strengt aftagende.
Hvis grundtallet er større end nul er de strengt voksende og hvis grundtallet er mindre end nul er de strengt aftagende.

KORT:

For alle a E R+ og for alle x E R: eksister der en monoton eksponentialfunktion exp_a
med grundtal a – aftagende for a 0.
så Dm(exp_a)=R og Vm(exp_a)=R+

1) exp_a(x) = a^x, hvoraf exp_a(1)=a
2) exp_a(x+y)= exp_a(x)* exp_a(y) eller a^(x+y)=a^x)*a^y
3) exp_a(x)= exp(x*ln(a)) eller a^x=e^(x*ln(a))
4) exp’_a(x) = ln(a)* exp_a(x) eller (a^x)’=ln(a)*a^x
hvoraf
hvis a=e
(e^x)’=ln(e)*e^x =e^x
kort (e^x)’=e^x den naturlige eksponentialfunktion er sin egen afledede, (hvilket er nok så praktisk i mange integralsammenhænge.)

For alle a,x E R+ eksisterer der en monoton logaritmefunktion log_a med grundtal a – aftagende for a0.
så Dm(log_a)=R+ og Vm(log_a)=R
1) log_a(a)=1
2) log_a(x*y)= log_a(x)+ log_a(y)
3) log_a(x)=ln(x)/ln(a)
4) log’_a(x)=1/ln(a)*1/x

exp_a(log_a(x))=log_a(exp_a(x))=x

logaritmer
for a=e
5) ln'(x)=1/ln(e)*1/x
eller
ln'(x)=1/x
og
6) ln(x)=S1/xdx (fra 1 til x)