Matematik

Matematik haster

20. november 2002 af SP anonym (Slettet)

En funktion f er bestemt ved
f(x)=x+ln(x) x skal være element i R-plus.

Gør rede for at f har netop et nulpunkt. Er en opgave uden hjælpemidler.

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. november 2002 af 404error (Slettet)

f'(x)=1+1/x >0 for alle x \\in R+, d.v.s. f strengt voksende.

Da

lim_{x -> 0+} f(x)= -oo,

og

lim_{x -> oo} f(x)= oo,

samt f kontinuert, følger det af Bolzano's sætning, at der eksisterer
netop et punkt c således at f(c)=0.

Brugbart svar (1)

Svar #2
20. november 2002 af Jean

Dette er vel også et specialtilfælde af mellemværdisætningen (for at forklare det i gymnasie-terminologi)

Brugbart svar (1)

Svar #3
20. november 2002 af 404error (Slettet)

det lyder fornuftigt, jeg havde blot glemt, hvad den hed i gymnasiet.

Svar #4
21. november 2002 af SP anonym (Slettet)

Dette lyder meget rigtigt, men jeg ved hverken hvad Bolzanos sætning eller mellemværdisætningen er.

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. november 2002 af Jean

Mellemværdisætningen siger at hvis du har en kontinuert funktion på et interval [a,b] og f(a)

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. november 2002 af 404error (Slettet)

Nemlig. Skal man være pedantisk, bør man dog nok lige gøre rede for eksistensen af et sådant kompakt (lukket) interval, før mellemværdisætningen kan anvendes. Men

f(e)=e+ln(e)=e+1>0,

og

f(1/e)=1/e-1

så f.eks. [1/e;e] opfylder kravene.

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. november 2002 af Jean

Så skal vi vel også antage at de reelle tal eksisterer ;-) (for at være meget pedantisk)

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. november 2002 af 404error (Slettet)

Jeg ta'r chancen og satser på, at de eksisterer - ellers ville det være lidt kedeligt at lave matematik :)

Skriv et svar til: Matematik haster

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.