Matematik

Parameterfremstilling - kurvens længde

09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Hej alle

Håber på lidt hjælp, da jeg ikke ved, hvad der menes med opgaven. Jeg skal beregne den eksakte værdi af kurvens længden. Fremgangsmåden er opgives, idet der står, at længden af kurven er bestemt ved:

2pi
S kvrod((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt
0

(S står for integrale)

Endvidere er det opgivet, at
x= 4(cost)^3
y = 4(sint)^3 tE[0;2pi]

Mit problem er, hvad hhv. dx, dt og dy står for i integralet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. oktober 2006 af allan_sim

#0.
dx/dt er en anden betegnelse for x'(t) og dy/dt er en anden betegnelse for y'(t).

Svar #2
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Jeg takker - måske kan jeg godt nu. Ellers vender jeg lige tilbage.

Svar #3
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Hmm, må lave en fejl!

Jeg finder
x´(t) = 12*(cost)^2*(-sinx)
y´(t) = 12*(sint)^2*cos(t)

Så sætter jeg dem ind i ligningen

2pi
S kvrod((12*(cost)^2*(-sinx))^2 + ((12*(sint)^2*cos (t))^2) dt

Da alt skal opløftes i 2. går de to "^2"-tegn ud med kvrod. Så står der

2pi
S 12*(cost)^2*(-sinx) + 12*(sint)^2*cos(t)
0

Men når jeg regner videre gir det nul! Derfor må jeg have lavet en fejl..

Svar #4
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Gab, gab, ja, jeg har fundet fejlen - undskylder ulejligheden

Svar #5
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Vil gerne have et hint til, hvordan jeg kommer videre herfra:

2pi
S kvrod(144*(cost)^4*(-sint)^2 + 144*(sint)^4*(cost)^2
0

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. oktober 2006 af sigmund (Slettet)

Sæt (cost)^2 = 1-(sint)^2, og fortsæt derfra. (Husk, at (cost)^4 er [(cost)^2]^2).

Svar #7
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Det er hermed gjort. Men nu har jeg bare en masse steder, hvor der står sinus. Skal jeg bruge noget substitution, eller vil jeg hermed gøre det sværere for mig selv?

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. oktober 2006 af sigmund (Slettet)

Nej, du skulle gerne få reduceret udtrykket under kvadratroden til (144 Sin[t]^2 - 144 Sin[t]^4). Her kan du sætte 144 Sin[t]^2 uden for en parentes, og udnytte at Sin[t]^2 = 1 - Cos[t]^2.

Svar #9
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Nå, for søren

Så prøvet jeg lige igen:

2pi
S kvrod(144*(cost)^4*(-sint)^2 + 144*(sint)^4*(cost)^2
0

Sætter 1-sint^2 ind i stedet for cost^2

kvrod(144*((1-(sint)^2)^2)*(-sint)^2 + 144*(sint)^4*(1-(sint)^2)

Og så kan jeg reducere?

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. oktober 2006 af sigmund (Slettet)

Ja, men læg lige mærke til, at der ikke skal stå (-sint)^2, men (sint)^2.

Svar #11
09. oktober 2006 af Snemanden (Slettet)

Hej igen

Jeg kan nu reducere til:

144*(sint)^2 i første led.

Dog er andet led lidt sværere, synes jeg.
Jeg har:

144*(sint)^4*(1-(sint)^2)

men vil gerne have

- 144 Sin[t]^4 (da du har skrevet dette)

Kan simpelthen ikke få det.

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. oktober 2006 af sigmund (Slettet)

Se her:

144*((1-(sint)^2)^2)*(sint)^2 + 144*(sint)^4*(1-(sint)^2 =
144*(1+sint^4-2sint^2)*sint^2 + 144*(sint^4-sint^8) =
144sint^2 + 144sint^8 - 288sint^4 + 144sint^4-144sint^8 =
144sint^2 - 144sint^4.

Kand du se det?

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. oktober 2006 af sigmund (Slettet)

#12,

Kand --> kan.

Skriv et svar til: Parameterfremstilling - kurvens længde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.