Matematik

Funktioner af flere variable bl.a. (max,min).

20. oktober 2006 af sontas (Slettet)

1. problem :

Jeg vil maximum og minimumsværdier for funktionen
f(x,y) = x^2*y på mængden {(x,y) e R^2 | -1 <= x <=1, x<=y<=x+2}. Jeg finder, at x = 0 og y = 0, hvis begge partielt afledte skal være 0 (dvs det stationære punkt er (x,y)=(0,0). Herefter opstiller jeg hessematrixen for de andenordens partielt afledede, og finder at denne er 0. Herved kan jeg ikke bruge andensordensafledet testen, hvordan kan jeg så udregne max og min på den angivne mængde?

2. problem :

Hvis jeg skal redegøre for, at en funktion er c1, er det så nok at tjekke, at de partielt-afledede er kontinuere?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2006 af fixer (Slettet)

Hvis f:M->R har en størsteværdi (mindsteværdi), da antages denne enten i et stationært punkt for f eller i et punkt på randen af M eller i et punkt, hvori f ikke har partielle afledede af første orden.

Da tydeligvis f E C^(\infty)(R²) er det sidste tilfælde ikke relevant.

De stationære punkter bestemmes som løsningerne til

2xy=0 /\ x² = 0

Løsningerne til dette system er ikke kun talsættet (0,0), men mængden

L = {(x,y) E M | x=0 /\ 0<=y<=2}

Det ses umiddelbart at i samtlige disse punkter antager f værdien 0.

Det næste du skal er da at bestemme værdierne af f på randen af M, d.v.s. i randpunkterne på dens definitionsmængde. Dernæst skal du sammenligne disse værdier indbyrdes er med værdien i det stationære punkt. Så følger svaret.

Bemærk iøvrigt at f _har_ både en største- og en mindsteværdi fordi M er lukket og begrænset.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2006 af Madsst (Slettet)

Du skal bruge ekstremværdisætningen som fortæller at på en kompakt mængde findes max og min enten i stationære punkter eller på randen. Det du skal gøre herefter er altså at undersøge randen og finde mulige max, min værdier der og så sammenligne dem.

Mængden er noget parallogramagtigt. Du skal undersøge f(-1,y), f(1,y) og f(x,x+2) og f(x,x).
for eks. F(-1,y)=-1^2*y=y. som er voksende i hele intervallet, hvorfor min må være (-1,0) og max (-1,0) for denne linie. Dem noterer du så som kandidater og fortsætter...

Svar #3
20. oktober 2006 af sontas (Slettet)

Tak for svarene begge to!

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. oktober 2006 af Madsst (Slettet)

hov vrøvl.. Det er ikke rigtigt hvad jeg skre

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. oktober 2006 af Madsst (Slettet)

Du skal undersøge f(x,0) og f(x,3) og f(x,x+2) og f(x,x)

Svar #6
20. oktober 2006 af sontas (Slettet)

Hmm altså det jeg har gjort indtil vidrere er :

f(-1,y), f(1,y)
indsættes dette fås f(-+1,y) = y og den maksimale værdi f kan have når x = +-1 er 3, idet ymax = 3, når x = 1.
Den minimale værdi i mængden antages når når x = -1, idet y = -1 her. Her er f(-1,-1)=-1.
Max for f findes når y er størst (når x=+-1):
dette er f(x,y) = 3, idet ymax = 3 når x =1. Herved er der max i
(x,y)=(1,3).
Lidt halv dårligt formuleret, men er det rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. oktober 2006 af fixer (Slettet)

Gennemgangen af randpunkterne kræver bestemmelse af ekstremumspunkterne for følgende funktioner i de angivne intervaller:

(a) f(-1,y) = -y, -1<=y<=1
(b) f(1,y) = y, 1<=y<=3
(c) f(x,x) = x³, -1<=x<=1
(d) f(x,x+2) = x²(x+2), -1<=x<=1

Du har behandlet (a) og (b) korrekt, men mangler (c) og (d). Husk at sammenligne de fremkomne ekstrema med værdien i de stationære punkter når der argumenteres for de endelige største- og mindsteværdier.

Skriv et svar til: Funktioner af flere variable bl.a. (max,min).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.