Matematik

Opgave 4122(differentialligning)

03. december 2006 af dnadan (Slettet)

Et land havde i 1970 30 millioner indbyggere og indbyggertallet aftog, pga. lavt fødselstal, med 0,2& om året. Landet modtog hvert år 57000 indvandrere.

Vis, at hvis t er antallet af år efter 1970, og f(t) indbyggertallet, så er:
f'(t)=57000-0,002*f(t).

Jeg har fundet funktionen ved:
Jeg ved at f(0)=30*10^6
og rentesatsten= 0,998
og tilførsel af 'nye' borgere er: 57000 pr år.
Hermed bliver funktionen:
f(t)=30*10^6*0,998^t+57000*t

Men dette passer ikke ind i differentialligningen, og jeg kan simpelthen ikke forstå hvorfor!?

Er der ikke en venlig sjæl der vil kigge hurtigt på det?:)
På forhånd mange tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

du forsøger at stille ligningen for indbygegrtallet op, hvilket ikke er det der spørges om. Du opstilelr heller ikke ligningen korrekt, da du antager indbyggertallet altid er det samme når du fjerner de 0,2%.

Der spørges om ændringen af indbygegrtallet. Der indser man nemt hvorfor den er som den står
Ændringen per år er antal indbyggeri ind og antal indbyggere ud
f'(t) = IND - UD

der kommer 57000 ind hvert år, uafhængigt af hvor mange indbyggere der er
IND = 57000

Men antallet der forsvinder afhænger af hvor mange indbyggere der er, altså f(t)
UD = f(t)*0,002
fordi det er 0,2% af de indbyggere der er der forsvinder, så det afhænger jo altid af præcis hvor mange der er det år. Dette er ikke konstant

SÅ ændringen per år bliver da
f'(t) = IND - UD
f'(t) = 57000 - f(t)*0,002

Svar #2
03. december 2006 af dnadan (Slettet)

#1
Jeg kan godt se, at forskellen i populationen er Ind-ud...

Men jeg antager stadigvæk ikke at indbyggertallet er det samme, 30*10^6 må være skærringen med y-aksen, hvilket det også er på min graf...Og der er netop taget højde for at der forsvinder 0,2% hvert år, da der er tale om en eksponentiel funktion...

hermed kan jeg stadigvæk ikke se, hvorfor det ikke er korrekt...
Vil du være så venlig, at skære det mere ud i pap, så jeg bedre kan indse det? Mange tak:)

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

jeg forstår slet ikke hvorfor du bekymrer dig om at finde f(t), det er ikke det opgaven går ud på.

Men din opskrivning er ligningen er forkert. Jeg fik sagt du antager indbygegrtallet er konstant, det gør du ikke helt, men du glemmer et led. Med din opskrivning siger du at indbyggertalle falder med 0,02% hvert år, men du glemmer at inkludrere at der hvert år kommer 57000 ekstra med ind i regnskabet!
lad os kigge på de to første år
f(1)=30*10^6*0,998^1+57000*1
Den er god nok!
f(2)=30*10^6*0,998*0,998+57000*2
den er ikke god nok! H for her tager du 0,02% af et forkert indbyggertal, for du har glemt at der er kommet 5700 ekstra til.
Din ligning skal jo være
f(2)=f(1)*0,998+57000*2
men f(1)=30*10^6*0,998^1+57000*1, så
f(2) = (30*10^6*0,998+57000)*0,998+57000*2

Gav det mening?

Svar #4
03. december 2006 af dnadan (Slettet)

#3 Jeg bekymrer mig om det, da jeg skulle bruge funktionen i følgende opgave... Jeg ved godt, at den kan beregnes ud fra differentialligningen, men troede bare det ville være smartere at finde den først, men den er tilsyneladende lige et tand for svær for mig lige pt.

Men mange tak for din påståelighed, jeg har endelig fattet det..:)
Forsat god weekend!

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

selv tak! Og i lige måde

DIfferentialligninger er ikke sådan lige at finde løsningen på fra hoften uden at løse dem som differentialligninger, så for at finde f skal du igang med noget separation af de variable.

Svar #6
03. december 2006 af dnadan (Slettet)

#5 Tror bare jeg vil benytte formlen:
dy/dx=b-ay <=> y=b/a+c*exp(-ax)

Men jo, ellers kan man vel også benytte seperation af de variable, vil dog mene, at det er en omvej...

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

formlen du skriver udledes gennem separation af de variable, så hvis man kan huske formlen er det klart en genvej.
Jeg har aldrig været den store mester i at huske formler, så må man igang med grundprincipperne hver gang :)

Svar #8
03. december 2006 af dnadan (Slettet)

#7
Seperation af de variable er jo også en ganske fin metode... Men vi lærte den formel, før vi lærte seperation af de variable(det er udgået af det skriftlige pensum)

I vores bog blev den udledt på en anden måde end ved seperation af de variable, men den kan uden tvivl og påvises ved brug af den metode:)

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

fair nok.
Jeg har lige en rettelse, lige for at få det hele på det rene
Der er lige et 2 tal for meget, så det rigtige er:
"
Din ligning skal jo være
f(2)=f(1)*0,998+57000
men f(1)=30*10^6*0,998^1+57000*1, så
f(2) = (30*10^6*0,998+57000)*0,998+57000
"

Skriv et svar til: Opgave 4122(differentialligning)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.