Matematik

Leibniz række

18. december 2006 af bikkelmoysen (Slettet)

Jeg er i øjeblikket i gang med at skrive SSO omkring approksimering af Pi.
I min opgave stilling har jeg fået stillet følgende opgaver, som volder mig problemer:

Her er en kendt rækkeudvikling, der kan benyttes ved beregning af p

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ...

Er det ligegyldigt i hvilken rækkefølge man adderer og subtraherer leddene i rækken?

Hvor mange led er det nødvendigt at medtage i summen for at være sikker på at få beregnet p med 3 cifre?

Hvis nogen kunne hjælpe mig her ville jeg være yderst taknemmelig.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2006 af fixer (Slettet)

Vink: summationsrækkefølgen kan kun ændres uden at ændre summen hvis rækken er absolut konvergent. Er den det ?

Svar #2
18. december 2006 af bikkelmoysen (Slettet)

hvad menes der nøjagtigt med absolut konvergent?

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2006 af Asger_ss (Slettet)

du skiftevis addere og substraherer. og du kan jo bare skrive rækken ned og fortsætte med at sætte led på indtil du når en præcision på 3 cifre, mener at det er omkring 25 led, ellers er det 4 cifre.

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. december 2006 af -Jesper- (Slettet)

Hvor skla man regne ud hvor mange led der skal medtages for en præc på 3 decimaler.??

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. december 2006 af -Jesper- (Slettet)

hvordan* :)

Svar #6
18. december 2006 af bikkelmoysen (Slettet)

#3 Problemet er at det er ufatteligt besværligt at tage et led ad gangen, idet den konvergerer utrolig langsomt. Man skal op på over 500 led for bare at få cifre.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. december 2006 af fixer (Slettet)

Ang. absolut konvergens se #21 i:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=153775

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. december 2006 af sigmund (Slettet)

#6,

Jeg ved ikke, hvordan du skal beregne antallet af led i Leibniz' række for en given præcision. Dog ved jeg, at du kan lave numeriske eksperimenter. Hvis du kan finde ud af at programmere, kan du lave et lille program, der beregner forskellen mellem en eller anden prædefineret værdi af pi (fx. 3.14) og den n'te partialsum af Leibniz' række. Når forskellen så er nede på 0, stopper programmet, og giver dig det antal af led i rækken, der førte til summen 3.14 (jf. exempel ovenfor).

Et eksempel, med MATLAB-notation, følger:

PI = 3.14;

for n = 1:1000
Leibniz0 = 0;
for i = 1:n
Leibniz = Leibniz0 + (-1)^(i-1)/(2*(i-1)+1);
Leibniz0 = Leibniz;
end
diff = PI - Leibniz;
[n abs(diff)]
end

-------

Her initialiseres PI til 3.14. Derefter køres 1000 iterationer, hvor den n'te partialsum i Leibniz' række samt forskellen mellem PI og den n'te partialsum, beregnes for hver iteration. Desuden vises iterationsnummeret og differencen ved siden af hinanden på skærmen.

Ved at variere n kan vi finde ud af, hvor mange iterationer vi skal lave for at få diff = 0.

I ovenstående eksempel er der ikke lavet nogen test, der løbende tester diff, og stopper når diff = 0. Gør man det, så kan man direkte få antallet af iterationer, n, som output fra programmet.

Som sag, hvis du kender noget til programmering, er det ret ligetil at lave et program som det omtalte. Jeg ville tro, at din programmérbare lommeregner kunne klare det.

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. december 2006 af fixer (Slettet)

Alternativt udnyttes at Leibnizrækken blot er Taylorrækken for Arctan(x) om udviklingspunktet x=1 og en vurdering af restleddet vil lede til det ønskede.

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. december 2006 af sigmund (Slettet)

#9,

Er udviklingspunktet ikke x = 0, jf. http://mathworld.wolfram.com/LeibnizSeries.html ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. december 2006 af fixer (Slettet)

#10
Jo. Beklager bøffen.

Skriv et svar til: Leibniz række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.