Matematik

funktion

04. januar 2007 af LarsUlri (Slettet)

opgave 3: en funktion f er givet ved: f(x ) = x^4 - 2x^2 + 1

d) angiv for ethvert reelt tal a antallet af løsninger til ligningen f(x ) = a (fx vha. en skitse af grafen for f)

Hvad vil det sige?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2007 af mathon

x^4 - 2x^2 + 1=a

(x^2)^2-2x^2 + 1=a
sæt
z=x^2,
hvoraf

z^2-2z+(1-a)=0
løs 2.gradsligningen med hensyn til z
og dernæst
x^2=z
hvoraf
x=±sqr(z)

Svar #2
04. januar 2007 af LarsUlri (Slettet)

jeg forstår ikke noget af det der...vil du ikke hellere forklare mig hvad det er opgaven egentlig går ud på? :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. januar 2007 af allan_sim

#0.
Forestil dig, at du har grafen for funktionen f. For hvert tal på y-aksen kan du tegne en vandret linje og finde ud af, hvor mange gange denne vandrette linje skærer grafen for din funktion.

Hvis du befinder dig i f.eks. 2 på y-aksen, vil antallet af skæringspunkter mellem den vandrette linje ud fra 2 være lig antallet af løsninger til ligningen f(x)=2.
Befinder du dig i 3 på y-aksen, vil antallet af skæringspunkter være antallet af løsninger til ligningen f(x)=3.
Og tilsvarende med tallet a på y-aksen.

Du skal således angive, hvor mange løsninger der er for et eller andet vilkårligt tal a. Der vil kunne være op til 4 løsninger, fordi du har med et fjerdegradspolynomium at gøre, men der kan også være færre løsninger.
Hvis du tidligere i opgaven har lavet en funktionsundersøgelse, kan du tænke i sammenhængen mellem lokale minima og maksima og antallet af løsninger.

Giver det mening?

Svar #4
04. januar 2007 af LarsUlri (Slettet)

ja lidt, men forstår ikke helt hvad det er jeg skal inde ud af?
Hvilke reelle tal skal jeg angive a antallet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. januar 2007 af allan_sim

#4.
Det skal du gøre for alle reelle tal a, dvs. for hvilke a er der ingen løsninger til ligningen f(x)=a, for hvilke er der hhv. 1, 2, 3 og 4 løsninger.

For din konkrete funktion skulle du gerne få en graf, der ligner et blødt w, og for nogle tal på y-aksen vil der ingen løsninger være, for nogle vil der være 2, for et enkelt tal vil der være 3 og for nogle vil der være 4 løsninger.

Prøv at skitsere grafen (eksempelvis på lommeregneren) og sammenlign med hvad jeg har skrevet her.

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. januar 2007 af Nicklas.sk (Slettet)

Er det ikke mere simpelt at forstå det sådan her? eller er min metode forkert? Jeres virker langt mere avancerede:O!

Hvis man tegner grafen på grafregneren er det let at se:

Op af 2. aksen kan man se at der er to forskellige løsninger, hvis man vil have f(x) = ethvert tal højere end 1 (der er to x værdier der giver samme f(x)), osv.

Lige netop i 1, er der tre løsninger, (tre forskellige x-værdier giver f(x)=1)

Mellem 1 og 0 er der således 4 løsninger, (4 forskellige x-værdier giver samme f(x)).

I f(x)=0, er der to løsninger, rødderne.

I f(x)= alt under 0 må der således ikke være nogen løsning, da Vm=[0;8[.

Mit bud på løsningen:

a = ]-uendelig;0[ så er 0 løsninger
a = 0 så er 2 løsninger
a = ]0;1[ så er der 4 løsninger
a = 1 så er der 3 løsninger
a = ]1;uendelig[ så er der 2 løsninger

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. januar 2007 af Nicklas.sk (Slettet)

8 = uendelig selvfølgelig
Vm=[0;uendlig[

Skriv et svar til: funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.