Sproglig har brug for hjælp til høj niveau matematik Haster (parabel +tangent+cirkel)

har lige opdaget at pc'en har lavet en fejl....der hvor der står ? efter x eller y skal der stå opløftet i 2...

mvh Ashra

Opg. 2) Toppunktet er korrekt. Mht. tangenten, så er du på rette vej. For x0 skal du sætte 1 ind. Du skal beregne f(1) og f'(1). f(1) fås ved at sætte 1 ind for x i forskriften for f, mens f'(1) fås ved at sætte 1 ind for x i forskriften for f'. Du kan vel finde ud af at differentiere f?

Opg. 5) Centrum hhv. radius for cirklen er korrekte. Mht. tangenten, så forstår jeg ikke, hvad du skriver. Du har beregnet afstanden mellem centrum og linje. Giver den ikke det samme som radius, altså kvrod(45)? Mht. linjen n's skæring med cirkelen, så bliver du bedt om at beregne skæringspunkterne. Jeg ville dog mene, at man kunne forklare sig ud af problemet, med et argument, der er lige stærkt som en beregning. Det er åbenlyst, at det ene punkt må være tangentens røringspunkt, mens det andet fås ved symmetribetragtninger (de to punkter må ligge diametralt modsat hinanden). Det, der skal beregnes, er således tangentens røringspunkt. Dette klares hurtigt med lidt implicit differentiation, hvor dy/dx findes, og en løsning af ligningen dy/dx=-0.5. (Hvor hurtigt det kan klares, afhænger af dit kendskab til implicit differentiation.)

aner ikke hvad implicit differation er!? alt hvad du har skrevet til sidste opgave forstår jeg ikke :(

#3,

Lad os så prøve igen.

Du skal redegøre for, at linjen med ligningen y=-0.5x-4 er tangent til cirklen. Dette kan gøres ved at beregne den vinkelrette afstand mellem centrum og linjen (den såkaldte dist-formel). Er denne afstand lig radius, er linjen tangent til cirklen. Ellers ikke.

Linjen, der er tangent, kaldes l. En linje n går gennem cirkelens centrum, og står vinkelret på l. Denne skærer følgelig cirklen to steder. Det er disse to steder, du skal finde.

Da linjen n går gennem cirkelens centrum, samt står vinkelret på linjen l, må det ene af de søgte steder være sammenfaldende med tangentens røringspunkt på cirklen. Kan du se det?

Jeg har tegnet situationen. Tegningen ses på http://peecee.dk/?id=25900 . Heraf skulle det være klart, at det ene af skæringspunkterne mellem n og cirkelen, er tangentens, dvs. l's, røringspunkt på cirkelen. Det andet skæringspunkt findes, som nævnt, ud fra symmetribetragtninger, da de ligger diametralt modsat hverandre.

Det virkelige problem er således at bestemme tangentens røringspunkt. Dette kan bl.a. gøres vha. implicit differentiation. Det kan også gøres ved at isolere y i cirkel-ligningen, sætte den lig ligningen for tangenten og løse for x (husk, at når y isoleres i cirkel-ligningen, får du ±kvrod(...) -- du skal bruge enten +kvrod(...) eller -kvrod(...) til at finde skæringspunktet; hvilken, ses af tegningen). Derved finder du x-værdien for skæringspunktet; y-værdien findes ved indsættelse i tangentens (vi taler stadig om l) ligning. Dermed har du fundet det ene af de søgte skæringspunkter. Hvordan finder du så det andet?

Som nævnt, så findes det andet skæringspunkt ved symmetribetragtninger. Det første skæringspunkt har du formentlig fundet til (4,-6). Da centrum ligger midt på den lige (korteste) vej mellem de to punkter, ligger x-koordinaten for centrum midt mellem x-koordinaterne for de to punkter. Tilsvarende med y-koordinaterne. Er du med?

Således skulle det andet skæringspunkt gerne være (10,6).

Du skulle gerne have bemærket, at dette er besvaret uden at vi overhovedet har set på ligningen for n. Det er nok at vi ved, at den går gennem centrum, og at den står vinkelret på l.

Jeg ville dog mene, at tangentens røringspunkt lettere kunne vindes ved udnyttelse af implicit differentiation. For en fyldig beskrivelse af implicit differentiation, samt opgaver, se http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/implicitdiffdirectory/ImplicitDiff.html .