Matematik
afstand mellem vektorfunktion og punkt.
17. februar 2007 af
yazzino (Slettet)
Hej.
Vi har givet en vektorfunktion r(t).
Og et punkt der ikke ligger på grafen P(0,8;0,6).
Vi skal finde den korteste afstand fra punktet P til grafen for vektorfunktionen.
Nogen forslag?
På forhånd tak.
Vi har givet en vektorfunktion r(t).
Og et punkt der ikke ligger på grafen P(0,8;0,6).
Vi skal finde den korteste afstand fra punktet P til grafen for vektorfunktionen.
Nogen forslag?
På forhånd tak.
Svar #1
17. februar 2007 af piper (Slettet)
Afstanden mellem to punkter (x, y) og (x', y') = P er givet ved
d = kvadratorden( (x-x')^2 + (y-y')^2 )
hvor (x', y') er dit kendte punkt
Men du kan tænke på punktet (x, y) som et variabelt punkt i det det er bestemt som en funktion af t da det jo kører rundt på vektorfunktionen:
Det vil sige (x, y) = (x(t), y(t))
Og så fås afstanden ved
d = d(t) = kvadratorden( (x(t)-x')^2 + ((y(t)-y')^2 )
Nu har du altså en funktion som har et minimum og du skal finde den t-værdi der medfører at d (afstanden mellem P og et punkt på vektorfunktionen er mindst). Nu er det altså et spørgsmål om at optimering.
Når du skal differentiere d(t) forstår jeg dig at du fjerner kvadratroden, fordi den er lettere at differentiere og det må du fordi kvadratrodsfunktionen er en voksende funktion. Det vil sige at den t-værdi der medfører d(t) er mindst også medfører d(t)^2 er mindst.
d = kvadratorden( (x-x')^2 + (y-y')^2 )
hvor (x', y') er dit kendte punkt
Men du kan tænke på punktet (x, y) som et variabelt punkt i det det er bestemt som en funktion af t da det jo kører rundt på vektorfunktionen:
Det vil sige (x, y) = (x(t), y(t))
Og så fås afstanden ved
d = d(t) = kvadratorden( (x(t)-x')^2 + ((y(t)-y')^2 )
Nu har du altså en funktion som har et minimum og du skal finde den t-værdi der medfører at d (afstanden mellem P og et punkt på vektorfunktionen er mindst). Nu er det altså et spørgsmål om at optimering.
Når du skal differentiere d(t) forstår jeg dig at du fjerner kvadratroden, fordi den er lettere at differentiere og det må du fordi kvadratrodsfunktionen er en voksende funktion. Det vil sige at den t-værdi der medfører d(t) er mindst også medfører d(t)^2 er mindst.
Skriv et svar til: afstand mellem vektorfunktion og punkt.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.