Mængder

Hvis du vil vide noget om mængder, skal du spørge Georg Cantor.

Han er desværre ikke lige ved mig...

Jeg har ikke rørt ved målteori i 15 år. Mine ekspertiser ligger i kommutativ algebra og algebraisk geometri. Betragt derfor mit svar som det det er; produktet af 10 min ihukommelse af og tænken over støvede data.

Husk at forklare notationen i dine indlæg. Mig står det klart, at B(R^n) er Borelmængderne - sigmaalgebraen frembragt af de åbne mængder i R^n (eller de lukkede for den sags skyld), men det kan ikke antages almindeligt kendt.

A og U er ikke ens. A er en sigma-algebra på R^n, U en sigma-algebra på Omega.

1. Lad N være en åben mængde i R^n. Så er f^(-1)(N) i U. Derfor findes et B i A så f^(-1)(B) = f^(-1)(N). Konkluder selv.

2. Vis hver af de tre betingelser for sig. F.eks. ligger Ø i A da Ø ligger i U. Prøv selv at vise at A er lukket under komplementdannelse og foreninger.

3. Vis at for enhver Borelmængde B, er f^(-1)(B) i F under forudsætning af at f^(-1)(O) er i F for enhver åben mængde O i R^n. Altså at originalmængden ved f af enhver Borelmængde er i F under forudsætning af, at originalmængden ved f af enhver åben mængde i R^n er i F.

Tips:
-----

Jævnfør dit tidligere spørgsmål angående afbildning af mængder, bør du nu kunne se at for enhver afbildning f er originalmængden til en komplementærmængde lig komplementærmængden til originalmængden:

f^(-1)(O^(C)) = (f^(-1)(O))^C

Konklusion:

Da F er en sigma-algebra indeholder F for ethvert A i F tillige A^C. Da specielt f^(-1)(O) er i F er (f^(-1)(O))^C ligeså. Men dermed er f^(-1)(O^(C)) i F. Altså er originalmængden til de lukkede mængder også i F.

Bemærk dernæst at enhver Borelmængderne B(R^n) består af mængder på formen:

B = \cup_{i1=1}^{\infty}\cap_{i2=1}^{\infty}\cdots\cup_{i1=2n-1}^{\infty}\cap_{i2=2n}^{\infty}B_{i1i2\ldots\i2n}

hvor hver B_{i1i2\ldots\i2n} er åben eller komplementet til en åben mængde i R^n.

Kig nu på f^(-1)(B) og anvend følgende regler:

a) originalmængden til en foreningsmængde er foreningsmængden af originalmænderne
b) originalmængden til en fællesmængde er fællesmængden af originalmængderne

og konkluder:

f^(-1)(B) = \cup_{i1=1}^{\infty}\cap_{i2=1}^{\infty}\cdots\cup_{i1=2n-1}^{\infty}\cap_{i2=2n}^{\infty}f^(-1)(B_{i1i2\ldots\i2n})

Hvadenten B_{i1i2...i2n} er åben eller lukket ligger originalmængden i F jævnfør indledende bemærkninger. Konkluder selv.

4. Standardmetoden til at vise mængdelighed A=B er at vise at inklusion gælder begge veje (A er en delmængde af B og B er en delmængde af A). Til begge inklusioner kan anvendes mængdeudtrykkene og reglerne fra 3.

Mange tak endnu engang. Det driller stadig, men det er vist noget jeg selv må klare her fra.