Matematik

Konvergent række

02. april 2007 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg skal vise at rækken

oo
sum((-1)^n * (x^2+n)/n^2)
n=1

er konvergent for alle x i R.

I førte del af opgaven har jeg vist, at rækken er IKKE absolut konvergent, men jeg kan ikke lige se hvordan jeg skal vise at den er konvergent.

Umiddelbart tænkte jeg på at splitte leddene op:

(-1)^n * (x^2+n)/n^2 = (-1)^n/n^2 * x^2 + (-1)^n/n

og så vise at hver af rækkerne med leddene

(-1)^n/n^2 * x^2

(-1)^n/n

er konvergente, men jeg kan ikke lige finde ud af at vise at rækken med leddene (-1)^n/n er konvergent. For den første række har jeg tænkt på at bruge at da den er absolut konvergent (da det er led på formen 1/n^k hvor k > 1, idet x^2 vel bare kan flyttes udenfor sumtegnet, ikke?), er den også konvergent.

Lidt hjælp vil være dejligt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#0:
Jeg skulle mene at din idé er god nok. At

er konvergent, kan vises ved at bruge Kvotientkriteriet. Lad først c_n = (-1)^n/n. Så er

At denne grænseværdi eksisterer og har værdien -1 for n gående mod uendelig, følger af de sædvanlige regneregler for grænseværdier. Da -1 < 0, giver Kvotientkriteriet dig så, at rækken konvergerer.

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. april 2007 af chrisjorg (Slettet)

((-1)^n * (x^2+n)/n^2) kaldes en "alternating series" på engelsk.
Lad Bn=(x^2+n)/n^2

Vi viser først at lim{n-->inf}Bn=0:
(x^2+n)/n^2=((x^2)/(n^2)+n/(n^2))/1 og ved at tage lim{n-->inf} af dette får vi (0+0)/1=0

Vi viser dernæst at Bn er aftagende:
ergo, vis at Bn+1<Bn
(x^2+n+1)/(n+1)^2=(x^2+n+1)/(n^2+2n+1)<(x^2+n)/n^2
=>Bn+1<Bn

Fra "alternating series test" er
oo
sum((-1)^n * (x^2+n)/n^2)
n=1
en konvergerende række.

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#1:
Grunden til at man kan bruge Kvotientkriteriet er selvfølgelig, at -1 < 1, ikke at -1 < 0.

#2:
Den mulighed havde jeg helt glemt. Det er godt nok længe siden jeg har arbejdet med rækker. ;-)

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. april 2007 af chrisjorg (Slettet)

Jeg tager min international baccalaureate om 30 dage, så hele emnet om rækker er noget jeg har beskæftiget mig med i de sidste par måneder :-)
Jeg synes dog lige at matematik på IB er lidt stressende, da man har to år til at gennemgå det tilsvarende til 3 års pensum...

Svar #5
02. april 2007 af Jeg_er_mig (Slettet)

Tak begge to.

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. april 2007 af DanielPetersen (Slettet)

#3
Det er også længe siden vi har arbejdet med addition og subtraktion ;-)

Skriv et svar til: Konvergent række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.