Matematik

Svær differentiation

09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Beregn uden hjælpemidler den afledede funktion af f(x) = (rod(x))^x.

Øh, hvordan gør jeg det?
Jeg vil foretrække et hint fremfor den fulde udregning, så hvis I vil være så venlige...?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2007 af Waterhouse (Slettet)

Prøv med følgende omskrivning (hvis rod altså er kvadratrod):

(rod(x))^x =
e^(ln[rod(x)^x]) =
e^(x*ln[rod(x)])

Hvis du så yderligere udnytte at rod(x)=x^(1/2) kan du bruge ln(x^a)=a*ln(x) til at reducere endnu mere på det, og så står du pludselig med en forholdsvist pæn sammensat funktion.

Svar #2
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Jo, rod er kvadratrod, anede ikke hvordan jeg ellers skulle skrive det.
så jeg skal differentiere e^(lnx*0.5x)?
det ved jeg ikke hvordan man gør. jeg kender reglen
(e^(kx))' = k*e^(kx)
men den kan jeg ikke bruge?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

Så grim er den da heller ikke. Du kan nemt diffrentiere den som en sammensat funktion, hvis du bare kender regnereglerne:

(a^x)' = a^x * ln(a)

(sqt(x))' = 1/(2*sqt(x))

Svar #4
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Ok, jeg tastede den lige ind på lommeregneren. Den siger et meget, meget langt udtryk. Er du sikker på, at det kan lade sig gøre?

Svar #5
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Ok, jeg opdagede lige at jeg havde integreret den på lommeregneren :)
Så hvis jeg differentierer den, giver den et lidt mere overskueligt udtryk.

#3 Ja, men kan jeg bruge den regel? Gælder den ikke kun, hvis der kun står x i potensen? Her har jeg jo et helt udtryk!

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

5# Øhh.. Var udtrykket ikke f(x) = (rod(x))^x ??

For der står kun x i potensen..

Svar #7
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

#6 Sorry, jeg troede du talte om Waterhouses omskrivning.
Men jeg kan alligevel ikke bruge reglen, fordi rod(x) ikke er en konstant a.

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#7 Det kan du nu godt for..

Det er en sammensat funktion, og ideen med sammensattefunktioner er netop, at der er flere variabler i et sammensat udtryk.

regnereglen for en sammensat funktion er:

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

I dit tilfælde vil

f(x) = a^x, hvor a = sqt(x)

g(x) = sqt(x)

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. april 2007 af Miyagi (Slettet)

#7
Hvis jeg ikke tager meget fejl så er det bare noget man sætter den til for at det bliver mere overskueligt, du regner den jo ved hjælp af den anden regneregel.

Sådanne sammensatte skal differentieres af to gange

Svar #10
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

#8
Jeg kan ikke få de til at passe med lommeregneren :(
Kan jeg meget venligt få dig til at skrive nogle mellemregninger ud? Så ville du redde dagen :)

Svar #11
09. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Jeg må vel bare konkludere, at opgaven ikke kan løses på mit nuværende niveau :)
Måske er det fordi jeg ikke var i skole, da vi havde den sidste matematiktime før påskeferien. Det må jeg så sige til min lærer, når jeg giver ham afleveringen i morgen :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

f(x) = (rod(x))^x

find f'(x)

f'(x) = ((sqt(x))^x)' = (sqt(x^))^x * ln(sqt(x)) * 1/(2sqt(x))

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

med sqt mener jeg self kvardtrod.. Og så skulle der iøvrigt have stået:

f'(x) = ((sqt(x))^x)' = (sqt(x))^x * ln(sqt(x)) * 1/(2sqt(x))

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#12 og #13 er forkerte :(

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. april 2007 af Mandelbrot (Slettet)

f'(x) = (sqt(x))^x * ( ln(sqt(x)) + 1/2 )

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. april 2007 af sheaf (Slettet)

Bemærk at fejlene i #12 og #13 skyldes det fejlagtige i funktionssammensætningen i #8. For (fog)(x) = a^sqrt(x), ikke x^(½x).

Allerførste indlæg #1 giver svaret. Med nævnte omskrivning

(sqrt(x))^x = (x^½)^x = x^(½x) = exp(½x*log(x))

er der tale om funktionssammensætningen (fog)(x) hvor

f(x) = exp(x) => f'(x) = exp(x)

g(x) = ½x*log(x) => g'(x) = ½(log(x) + 1)

Differentiation heraf følger af regneregler som er dig bekendt.

(fog)'(x) =

f'(g(x))g'(x) =

exp(½x*log(x))*½(log(x) + 1) =

½(log(x) + 1)x^(½x)

ækvivalent med #15.

Svar #17
10. april 2007 af franskhjælp (Slettet)

Smart... meget smart!
Desværre har jeg allerede afleveret opgavesættet, så jeg fik ikke lavet opgaven. Men det går nok. En del havde probs med den, så vidt jeg hørte i klassen i dag :)

Skriv et svar til: Svær differentiation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.