Matematik
Uni: Cirkel (komplekse tal)
Jeg har en opgave, får jeg får givet, at gamma er en vej, som består i at gennemløbe cirklen |z-1+i|=2 én gang i positiv omløbsretning. Jeg skal så finde ud af, hvorvidt punktet z=-2 ligger i cirklen. Mit umiddelbare bud er at sætte ind og se, om
|-2-1+i| =< 2, men så får jeg, at z=-2 ikke ligger i cirklen, hvilket jeg har på fornemmelsen, at det skal.
Jeg håber, der er en venlig sjæl herinde, som kan give mig et tip i den rigtige retning.
Svar #1
02. juni 2007 af sigmund (Slettet)
Svar #2
02. juni 2007 af CziX (Slettet)
Svar #3
02. juni 2007 af peter lind
|z-1+i|^2 = |x-1 +(y+1)i|^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2
Svar #4
02. juni 2007 af mathon
...resultatet af undersøgelser ligger ofte langt fra fornemmelsestilskyndelser, hvilket et flerårigt naturvidenskabeligt studium giver talrige eksempler på...
Svar #5
02. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
sigmund: Min fornemmelse skyldes, at jeg skal udregne integralet af en kompleks funktion over gamma. Og den komplekse funktion har kun en pol i z=-2. Det virker lidt mærkeligt ikke at skulle bruge resultatet fra det forrige delspørgsmål, hvor jeg fandt residuet for funktionen i polen.
peter lind: Det har jeg faktisk også prøvet, men det gav heller ikke, at punktet ligger i cirklen. Så jeg konkluderede, at jeg sikkert ikke kunne finde ud af at omregne til (x,y) koordinater. Men jeg fik godt nok det samme som dig.
Svar #6
02. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Er følgende række konvergent eller divergent?
sum fra n=1 til uendelig af
1/(2n+sin(n^2))
Jeg ved simpelthen ikke, hvilken test jeg skal bruge.
Svar #7
02. juni 2007 af peter lind
2n-1<=2n+sin(n^2)<= 2n+1
og derfor også
1/(2n+1) <= 1/(2n+sin(n^2) <= 1/(2n-1)
Da summen af 1/(2n+1) er divergente må din række også være det.
Svar #8
02. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg ved ikke, om der er en nem måde at vise, at summen af 1/(2n+1) divergerer, så jeg brugte en test, hvor jeg sammenlignede den med den harmoniske række.
Det virkede, men kunne sikkert gøres mere smart?
Svar #9
02. juni 2007 af peter lind
1/(2m-1) > 1/(2m) = ½*(1/m)
Svar #10
03. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg har et (forhåbentligt sidste) spørgsmål. Den her række volder mig en hel del problemer.
summen fra n=1 til uendelig af nx^(2n)
Jeg skal finde konvergensradius og bestemme dens sum.
Jeg tror, at konvergensradius er lig med 1, men jeg er bestemt ikke sikker. Og mht. at finde summen er jeg helt blank.
Svar #11
03. juni 2007 af peter lind
Hvis du summer op til led N gælder der:
sum(n*a^n) = a^N/(a-1)- a^(N+1)/(a-1)^2 + k
hvor k er afhængig af den nedre grænse.
Formlen kan vises enten ved induktion eller også ved hjælp af en formel svarende til partiel integration.
Hvis du sætter a=x^2 har du række n^(x2n) = n*(x^2)^n = n*a^n
De 2 første led går mod 0 for N gående mod uendelig såfrem a<1 svarende til x^2 < 1.
Rækken divergerer klart for x=1, så du har helt ret i at konvergensradius er 1.
Svar #12
03. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Du skriver, at de to første led går mod 0 for N gående mod uendelig, såfremt x^2<1. Men den oplysning giver opgaven ikke (altså, at x^2<1), hvilket får mig til at tænke, at der må være en anden fremgangsmåde?
Nu har jeg i et par timer siddet og svedet over en opgave omhandlende meromorfe funktioner. Hvis du orker, vil jeg blive rigtig glad, hvis du gad kigge lidt på mine argumenter - der er nemlig noget, der ikke stemmer.
Jeg får givet funktionen
g(z)=(sinz)^2/((z-1)(z^2+1)^2)
hvor z er kompleks.
1) Vis, at g er meromorf på C (mængden af de komplekse tal):
Her henviser jeg til nogle noter, hvorpå der står, at såfremt tælleren og nævneren er holomorfe på C (hvilket de er i dette tilfælde), og de ikke er identisk lig med nul, så er g meromorf.
2) Bestem polerne for g og deres orden:
Først bestemmer jeg nulpunkterne for h og deres orden:
z=1 er et nulpunkt af orden 1.
z=i er et nulpunkt af orden 2.
z=-i er et nulpunkt af orden 2.
Deres skal jeg så til det vanskelige.
Jeg går i stå, når jeg skal bestemme, om z=1 er en pol og dens orden.
Eftersom z=1 er et nulpunkt af orden 1, får jeg (hvis vi benævner nævneren af g med h), at
h(z)=(z-1)h_1(z),
hvor h_1(1) er forskellig fra nul (det kommer fra en sætning).
Dernæst skal jeg undersøge grænseværdien af
(z-1)g(z), når z går mod 1, for at se, om z=1 er en pol.
Men her kommer så problemet, for
(z-1)g(z)=(z-1) (sin z)^2/((z-1)h_1(z))= (sin z)^2 / h_1(z)
men sin(1)=0, så brøken går mod nul, hvilket betyder, at z=1 ikke er en pol.
Det forvirrer mig, idet definitionen på en meromorf funktion er, at
"g: G\P -> C er holomorf med isolerede singulariteter i P. Hvis alle punkter i P er poler, så er g meromorf".
Men jeg vil jo mene, at z=1 ligger i P. Men da z=1 ikke er en pol, opnår jeg en modstrid med, at g er meromorf.
Det skal lige indskydes, at jeg har lidt svært med komplekse funktioner og i særdeleshed poler, så jeg kan meget let have lavet noget mærkeligt et eller andet sted.
Svar #13
03. juni 2007 af peter lind
I opgaven med konvergensradius skal du finde et r så rækken er konvergent for |x| < r og divergent for |x| > r. Min formel vise at rækken er konvergent for |x|<1 og den er divergent for x=1. Da konvergensradius eksisterer må der så gælde r=1.
Til det andet spørgsmål:
Det er en ren og skær tanketorsk. sin(1) er ikke 0. sin(x) = 0 for x = n*pi.
Svar #14
03. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Du har ret mht. den første opgave.
Ang. den anden opgave, så er z=1 et kompleks tal, dvs. det svarer til punktet (1,0) i R^2. Så ud fra det er sin(1) vel nul? Muligvis er jeg bare meget træt :)
Svar #15
03. juni 2007 af peter lind
Som kompleks funktion skrives sin(z) = sin(x+iy)
Hvis z er et reelt tal d.v.s y = 0, gælder alt hvad der er sagt om sinus stadig, også opslag på lommeregner eller lignende. (En hel del gælder også selvom z er kompleks; men det er en anden historie).
Derfor gælder sin(1 + 0*i) = sin(1) = 0,84...
Svar #16
03. juni 2007 af sheaf (Slettet)
Konvergensradius bestemmes alternativt af d'Alemberts forholdstest og leder til konvergensbetingelsen x²
er konvergent med samme konvergensradius og med den angivne sumfunktion. Rækkens sumfunktion er så differentiabel og f'(z) bestemmes ved ledvis differentiation
Da
(overvej sidste lighedstegn) kan vi ved substitutionen z=x² direkte aflæse
Forbehold tages for regnefejl opstået i skyndingen.
Svar #17
03. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Hej Martin!
Du opdager da også alle indlæg ;)
Tak for dit svar (meget letlæseligt). Jeg kan følge det hele :) Du skriver, at jeg skal overveje det sidste lighedstegn. Fås det, da rækken er konvergent?
Jeg har et par opgaver mere, som jeg er gået død i i dag (jeg er ved at læse op til en skriftlig eksamen i reelle og komplekse funktioner).
Hvis ikke I er blevet trætte, vil jeg meget gerne stille dem her i håb om, at I kan hjælpe.
Jeg skriver dem ind i morgen - og så må jeg se, hvor meget overskud I har :)
Svar #18
04. juni 2007 af sheaf (Slettet)
Bemærk iøvrigt skrivefejlen i anden formel. Den burde have været
Svar #19
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Hvis jeg tolker den sætning, som er i min bog, korrekt, skal en uendelig række være konvergent, førend det er tilladt at sætte en fælles ledfaktor uden for summen.
Jeg bringer herunder de andre opgaver. Jeg forventer bestemt ikke, at I gider svare på dem alle, men også små tips til at komme videre vil blive modtaget med åbne arme :)
Opg 1) En række af funktioner er givet ved
hvor x er indeholdt i de reelle tal.
1) Find mængden I, hvor rækken konvergerer punktvis.
2) For alle x i mængden I fra spørgsmål 1, beregn dens sum.
Her er jeg helt fortabt - ingen idé overhovedet.
Opg 2) En kompleks funktion er givet ved udtrykket
hvor a er et komplekst tal.
1) Bestem a, således at h har en pol af orden 2 i z_0 = 1-i
Her har jeg forsøgt lidt:
Jeg har sat h(z)=f(z)/g(z). Og så bruger jeg, at for at z_0 er en pol, skal z_0 være en isoleret singularitet for h, dvs. jeg finder a, så z_0 er et nulpunkt for g(z). Men det giver mig, at
a=-2/(1-i) -1+i
hvilket lyder usandsynligt.
Tillægsspørgsmål:
Hvis jeg får givet, at gamma er cirklen |z-1+i|=2, hvordan argumenterer jeg så for, at gamma er stykvis glat?
Svar #20
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg skal finde nulpunkterne for g:
Jeg får, at
sin^2 (z) = 0 <=> z= p*pi, hvor p er et heltal.
Mit problem er nu, at jeg skal bestemme ordenen. Min strategi er at differentiere g og indsætte z=p*pi. Det gør jeg, indtil jeg ikke længere får noget, der er lig med nul. Dermed har jeg fundet ordenen. Meeen det kan næsten ikke passe, at jeg skal gøre sådan, for
Dermed er jeg nødt til at differentiere endnu en gang, men det virker rimelig mærkeligt, at jeg skal differentiere et så vildt udtryk.