Matematik
Uni: uendelig potensrækker og komplekse funktioner
1) Jeg har en opgave, hvor jeg har fundet ud af, at
Derudover har jeg vist, at
Jeg skal så vise, at rækken
konvergerer uniformt på ]-uendelig,-a] for alle a>0 og udregn dens sum.
Jeg kan ikke lige finde ud af, hvordan jeg skal gribe det an. Det ville virke logisk, hvis jeg skulle bruge nogle af opgavens tidligere resultater (som jeg også har skrevet op i indlægget), men jeg kan ikke lige se hvordan.
2) Jeg har givet en kompleks funktion:
Jeg skal bestemme konvergensradius for potensrækkeudviklingen af f omkring punktet z0=0.
Jeg har fundet ud af, at f er holomorf på mængden
Modulus af alle fire poler (de punkter, som f ikke er holomorf i, er alle 1, så de ligger i samme afstand fra z0=0. Dernæst bruger jeg følgende sætning:
"Lad f være holomorf på G, der er åben. Så er f uendelig mange gange differentiabel i kompleks forstand og Taylorudviklingen er konvergent med sum f i den største åbne kugle B(a,r) indeholdt i G."
Er det korrekt, at Taylorudviklingen er det samme som potensrækkeudviklingen? Og at svaret dermed bliver, at konvergensradius er 1?
Svar #2
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
hvor p > 0.
Jeg skal argumentere for, at den divergerer.
Jeg ved, at der for store k gælder, at
Hvilket jeg kan bruge til at få, at
Men derfra kan jeg ikke komme videre.
I må undskylde, at jeg kommer med så mange spørgsmål, men det kunne virkelig være dejligt at have en masse eksempler regnet til, jeg skal op til den skriftlige eksamen.
Svar #3
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
har konvergensradius 1, og at
har konvergensradius 9.
Dette skal jeg så bruge til at finde konvergensradiussen for
Nogle tips?
Svar #4
04. juni 2007 af peter lind
Hvis du sætter a = exp(x) får du rækkerne a^n og n*a^n.
Den sidste giver som tidliger nævnt summen n*a^N/(a-1) - a^(N+1)/(a-1)^2 + k. Dette kan så bruges på samme måde som tidligere. Du kan også bruge den noget smartere metode med at differentiere.
2)Det er korrekt.
4)
Den sidste sum er summen af de 2 første, og der gælder at når de enkelte rækker konvergerer så gør summen det også. Da begge konvergerer for |x| < 1 gør summen det også. For x > 1 divergere den første sum. Det betyder at du kan gøre summen vilkårlig stor ved at vælge tilstrækkelig mange led. Hvis du lægger leddene fra den anden sum til bliver summen endnu større, så summen divergerer. Konvergensradius er så 1.
Svar #5
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
1) Jeg har brugt metoden med at differentiere og får, at konvergensradius for rækken
er R=1, hvor a=exp^x
Det skal jeg nu regne om til en konvergensradius for rækken
hvilket jeg ikke synes, er helt let.
2) Fornemt!
4) Mange tak - dejlig pædagogisk forklaring!
Svar #6
04. juni 2007 af peter lind
Jeg har kigget lidt på din række med logaritmefunktionen. For p <= 1 kan du sammenligne med den harmoniske række, og derved bevise, at den er divergent. Men for p >= 2 er rækken 1/(k+1)^p konvergent, og så kan den ulighed ikke bruges til noget.
Svar #7
04. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg prøver lige at tage et kig mere på konvergensradiussen for den række.
Ang. rækken med logaritmefunktionen er jeg end ikke sikker på, at p behøver være heltallig.
Svar #8
05. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Her kommer de sidste opgaver af dem, jeg ikke kan finde ud af, fra de eksamenssæt, som jeg er ved at regne igennem. Der er vist en hel del, men forhåbentligt har du/I mod på et par stykker af dem.
5) Hvis jeg får givet, at gamma er cirklen |z-1+i|=2, hvordan argumenterer jeg så for, at gamma er stykvis glat?
6)
Jeg skal finde nulpunkterne for g:
Jeg får, at
sin^2 (z) = 0 <=> z= p*pi, hvor p er et heltal.
Mit problem er nu, at jeg skal bestemme ordenen. Min strategi er at differentiere g og indsætte z=p*pi. Det gør jeg, indtil jeg ikke længere får noget, der er lig med nul. Dermed har jeg fundet ordenen. Meeen det kan næsten ikke passe, at jeg skal gøre sådan, for så får jeg et meget kringlet udtryk, der giver nul, når p*pi indsættes.
Dermed er jeg nødt til at differentiere endnu en gang, men det virker rimelig mærkeligt, at jeg skal differentiere et så vildt udtryk.
7) Hvad er forskellen på multipliciteten af et nulpunkt for en kompleks funktion og så ordenen af nulpunktet? Jeg har på fornemmelsen, at de to begreber er ækvivalente, men kan nogen begrunde det, hvis jeg har ret?
8) Betragt
Jeg har vist, at rækken konvergerer absolut og uniformt på hele R.
Betegn summen af denne række med g(x). Vis, at g(x) er kontinuert differentiabel på R og at der gælder, at
Her er jeg tabt...
9) Antag, af f_n: I -> R, n et er naturligt tal, er funktioner defineret på et åbent interval I. Antag, at rækken
konvergerer punktvis og absolut for ethvert x indeholdt i I. Lad l være et positivt heltal. Vis at rækken
konvergerer punktvis og absolut for ethver x i mængden I.
Jeg har overvejet, om et induktionsbevis er vejen frem. Men jeg kan ikke engang finde ud af at vise det for l=2. Og så er det hele lidt håbløst.
Det var vist alt ;)
Hov, der er også hængepartiet med rækken, der indeholder logaritmefunktionen, hvis nogen skulle være kommet på en smart ide.
Svar #9
05. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Svar #10
05. juni 2007 af sheaf (Slettet)
5) Kurven fastlægges ved parameterfremstillingen z = x(t) + iy(t) [x(t)=cos(t), y(t)=sin(t)] hvor x og y begger er C^{oo}-funktioner. Derfor er kurven glat.
6) Kvotientfunktionens f(z)/g(z) nulpunkter bestemmes af tællerfunktionen f. Hvis ingen af disse er sammenfaldende med nulpunkter i nævnerfunktionen g, så er nulpunkternes orden for kvotienten f/g identiske med nulpunkternes orden i f/g.
Anderledes hvis nulpunkter for f og g er sammenfaldende.
Hvis f(z) og g(z) begge har nulpunkt i z0 af orden hhv. m og n, så er
f(z) = (z-z0)^m * F(z)
g(z) = (z-z0)^n * G(z)
hvor F og G er analytiske og ikke har z0 som nulpukt. Men så er kvotienten
h(z) = f(z)/g(z) = [F(z)/G(z)]/(z-z0)^(m-n)
hvor F/G også er analytisk og så kan man drage de slutninger som jeg skrev i din anden tråd.
ad 7) Ingen.
Angående rækken med logaritmefunktionen: Brug integraltesten hvis du er bekendt med den, eller alternativt at (log(k))^p er O(k^d) (jvf vores gamle snak om Landausymboler) for en enhver (stor) positiv værdi af p og enhver (lille) positiv værdi af d. Sammenlign dernæst med den velkendte række {1/n}. Humlen ved rækker med logaritmefunktioner er, at de kan konstrueres så de n'te led f_n aftager "hurtigere" end 1/n (og vi ved {1/n} er divergent) men langsommere end n^(-1-a) (og vi ved at {n^(-1-a)} er konvergent for alle positive værdier af a). Sædvanlige sammenligningstests er derfor ikke altid frugtbare for sådanne rækker.
Svar #11
05. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg har blot skimmet svaret indtil videre, da jeg er på vej ud af døren.
Men ang. 6) så tænkte jeg på, om der måske er sneget en trykfejl ind i sætningen "så er nulpunkternes orden for kvotienten f/g identiske med nulpunkternes orden i f/g."
For mig at se siger den sætning ikke noget? Står der ikke det samme? Det er sikkert mig, der er tabt.
Angående logaritmefunktionen: Ahh okay. Jeg vil prøve at se på integraltesten, som jeg godt er bekendt med, men dog helst kryber udenom.
Svar #12
05. juni 2007 af sheaf (Slettet)
ad 8) Hvis ikke du kender differentiationssætningen så er det oplagte at betragte forskellen mellem differenskvotienten (g(x+delta_x)-g(x))/delta_x og g', men det kræver at man kan finde en god vurdering af den øvre værdi af summen
som man let kun undersøge for delta_x gående mod 0.
Svar #13
05. juni 2007 af sheaf (Slettet)
Svar #14
05. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Tak for svaret! Jeg er lidt for træt til at se på det nu, men vil gøre det i morgen tidlig. Kunne jeg måske lokke dig til at tjekke mine sidste indlæg i den anden tråd, når du får tid?
Svar #15
06. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
6) "så er nulpunkternes orden for kvotienten f/g identiske med nulpunkternes orden i f". Jeg tænkte på, om du kunne komme med en argumentation for det? Ud fra definitionen på ordenen for et nulpunkt som værende det mindste naturlige tal n, hvorom der gælder, at den n'te afledede af funktionen ikke er nul, men alle de foregående er.
Så kan jeg nemlig skrive den argumentation ind i min eksamensopgave, hvilket kunne være ret fedt.
8) Nu siger du, "hvis jeg ikke kender differentiationssætningen". Hmm... Der er flere sætninger i bogen om differentiation af rækker, men jeg kan ikke finde ud af at anvende nogle af dem.
a) "Suppose that E is a bounded, open interval and that each f_k is differentiable on E. If
converges at some x0 in E and
converges uniformly on E, then
converges uniformly on E, f is differentiable on E, at
for x in E.
b) Let (a,b) be a bounded interval and suppose that f_n is a sequence of functions that converges at some x0 in (a,b). If each f_n is differentiable on (a,b) and f'_n converges uniformly on (a,b) as n -> uendelig, then f_n converges uniformly on (a,b) and
Svar #17
06. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Svar #18
06. juni 2007 af Sabrina (Slettet)
Jeg har overvejet at lave substitutionen u=log(x+1), men så får jeg, at du = 1/(x+1) dx, og så får jeg problemer, da 1/(x+1) ikke indgår i funktionsudtrykket.
Svar #19
06. juni 2007 af sheaf (Slettet)
h'(z0) = (f'(z0)g(z0)-f(z0)g'(z0))/(g(z0))^2
Ved gentagen differentiation ses i nævneren at fremkomme en produktsum indeholdende faktorerne f(z0), f'(z0), f''(z0)... samt samme faktorer med f erstattet af g. Så hvis f har nulpunktet z0 af orden n er denne produktsum lig 0 optil h^(n)(z0) og derfor har h(z0) et nulpunkt af orden n i z0. Omvendt, hvis h har nulpunkt z0 af orden n er h^(n)(z0) != men alle h^(i)(z0), i<n derfor er f'(z0)=...=f^(n-1)(z0)=0 men f^(n)(z0) !=0.
8) Hvad jeg mente var, at hvis {f_n} konvergerer uniformt mod f, og hvis enhver f_n er differentiabel og hvis {(f_n)'} konvergerer uniformt mod g, så er f differentiabel med afledet g.
#18
Det ubehagelige ved at anvende integraltesten i dette tilfælde er netop at det fremkomne integral ikke er af de nemme. Jeg synes, du ikke skal spilde tid på den, da det så kommer til at handle mere om integrationsteknik end rækker.
Jeg har mistet overblikket over hvilke spm. der mangler at blive besvaret.