Matematik

Side 2 - Uni: uendelig potensrækker og komplekse funktioner

Brugbart svar (0)

Svar #21
06. juni 2007 af sheaf (Slettet)

Det gik voldsomt stærkt:

"men alle h^(i)(z0), " -> men alle h^(i)(z0)=0,

Brugbart svar (0)

Svar #22
06. juni 2007 af sheaf (Slettet)

9) Da rækken er absolut konvergent må |f_(n+1)(x)/f_n(x)| -> d for n->oo, d <= 1. Men så må |(f_(n+1)(x))^p/(f_n(x))^p| = |f_(n+1)(x)/f_n(x)|^p -> d^p for n -> oo. Fra et tilstrækkeligt stort n at regne må der derfor findes et C>0 så

|(f_(n+1)(x))^p/(f_n(x))^p| <= C|f_(n+1)(x)/f_n(x)|

hvorfor rækken {((f_n)(x))^p} er absolut konvergent ifølge sammenligningskriteriet.

Svar #23
07. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Endnu en gang mange tak, selvom det er et fattigt ord :)

6) Mange tak! Nu forstår jeg i hvert fald: z_0 nulpunkt for f => z_0 nulpunkt for h! Og ikke mindst så kan jeg begrunde det til eksamen, hvilket er enormt fedt.

8) Jeg kan desværre ikke finde den sætning i bogen.

9) Hvorfra får du, at der må gælde, at

|f_(n+1)(x)/f_n(x)| -> d for n->oo, d <= 1.

Rent intuitivt kan jeg godt se, at det må gælde, da leddene ellers vil vokse, og rækken dermed ikke er absolut konvergent. Men skal d så ikke være skarpt mindre end 1? Kan jeg begrunde ovenstående mere matematisk?

Kan jeg evt. også få dig til at uddybe, at der fra et tilstrækkeligt stort n at regne må derfor findes et C>0 så

|(f_(n+1)(x))^p/(f_n(x))^p|

hvor a er et komplekst tal.

Bestem a, således at h har en pol af orden 2 i z_0 = 1-i

Jeg er ret sikker på, at opgaven ikke skal løses ved at sige, at rødder ganget sammen skal give a.

Svar #24
07. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Jeg fandt lige endnu en uregnet opgave...

11) Følgende funktion er givet

Jeg har bestemt konvergensradius for potensrækkeudviklingen af f omkring punktet z0=0 til at være lig med 3.

Dernæst skal jeg så bestemme koefficienterne i potensrækkeudviklingen af f omkring z0. Jeg har prøvet at differentiere f flere gange, men der kommer ikke rigtig et mønster. Jeg har snakket med een, som var lidt mere udholdende end mig, og han siger, at der er et mønster ved hver tredje afledte. Men det hjælper bare ikke ret meget.

Umiddelbart findes koefficienterne jo ved

Men der må også være en anden måde.

I et bevis for en sætning omhandlende, at taylorrækken er konvergent med sum f i den største åbne kugle, står der, at

Men jeg kan ikke lige overskue, om dette er en formel for koefficienterne i taylorrækken.

Brugbart svar (0)

Svar #25
07. juni 2007 af sheaf (Slettet)

Jeg er ude at rejse, så foreløbigt et kort svar på 6'eren.

Fra forholdstesten ved vi, at hvis forholdet |f_(n+1)/f_n| -> d>1 er rækken divergent, hvis |f_(n+1)/f_n| -> d < er rækken konvergent. Testen er uafgjort hvis d=1.

Så hvis vi bliver givet en konvergent række kan det ikke være tilfældet at |f_(n+1)/f_n| -> d > 1, thi så ville den være divergent. Altså må |f_(n+1)/f_n|->d <=1 (og selv hvis d=1 er rækken som oplyst konvergent).

Men hvis 0<d<=1 så er d^p<=d for p positivt heltal.

Jeg kigger på de andre nåpr jeg kommer hjem næste uge, hvis ikke du har fået svar allerde da.

Svar #26
07. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Mange tak! :)

Du må have en god rejse.

Jeg skal desværre op til eksamen på mandag, så det er nok ikke relevant, når du kommer hjem (i hvert fald ikke i samme udstrækning).

Svar #27
07. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Jeg bemærkede lige, at forholdstesten i min bog kræver, at leddene er forskellige fra nul for et tilstrækkeligt stort n og opefter. Men det vides vel egentlig ikke her?

Svar #28
07. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Ang. 9) så undrer det mig, hvorfor C'et overhovedet inddrages. Kan det ikke helt udelades?

Brugbart svar (0)

Svar #29
08. juni 2007 af sheaf (Slettet)

#27
Du har fuldstændigt ret.

Et alternativ er at udnytte at en række konvergerer hviss følgen af partialsummer er en Cauchyfølge:

At den givne række er absolut konvergent betyder så at for ethvert epsilon findes et M sådan at alle partialsummer med elementer fra hinsides M opfylder

|f_n(x)| + |f_(n+1)(x)| + ... + |f_m(x)| < epsilon

for alle n,m >= M.

Prøv at se, om du ikke kan få det hen til, at så findes for ethvert espilon' et M' så

|f_n'(x)|^l + |f_(n'+1)(x)|^l + ... + |f_m'(x)|^l < epsilon'

for alle n',m'>M'. Det viser at rækken {f_n(x)^l} er absolut konvergent.

Svar #30
09. juni 2007 af Sabrina (Slettet)

Mange tak! Den køber jeg ;)

Jeg har forresten fundet ud af spg. 10 og spg. 11.

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Uni: uendelig potensrækker og komplekse funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.