Bevis af areal til trekant

Søg på nettet under "herons formel"

Tak, sidder lige og kigger på det, men er der et bevis for det fordi det eneste jeg kan finde er blot hvor der står beskrevet hvordan og hvorledes hans formel for udregningen af arealet en trekant skal gøres

Beviset er her, det går på at du kan lave et parallogram af to ligedannede trekanter:
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_triangle.html

Sinusrelation er bevist mange gange i forummet. Prøv at søg efter det.

#3's link ved hjælp af trigonometri:
http://regentsprep.org/regents/mathb/5E1/areatriglesson.htm

Du kender formentlig nu relationerne for retvinklede trekanter:
tan(v) = mod/hos
sin(v) = mod/hyp
cos(v) = hos/hyp
hvor "v" er en vinkel, "mod" er den modstående katete, "hos" er den hosliggende katete og hyp er hypotenusen i den retvinklede trekant.
Hvis du opstiller en vilkårlig trekant (opdel den i retvinklede trekanter - evt. uden for trekanten, hvis den er spidsvinklet), kan trekantens højde h bestemmes ved at bruge ovenstående relation, hvor sinus til en vinkel samt den modstående katete og hypotenusen indgår. En af trekantens sider svarer til hypotenusen i én af de retvinklede trekanter, du har delt trekanten op i og den modstående katete i den af disse retvinklede trekanter svarer til den vilkårlige trekants højde h.
Her fremgår et eksempel for en trekant ABC, hvor h står vinkel c.
(Den modstående side til vinkel A er a, den modstående side til vinkel B er b og den modstående side til vinkel C er c)
Vinkel A, som er én af vinklerne ved c, ønskes. Der gælder altså:
sin(A) = h/b <=> h = b·sin(A).
Arealet T fås ved:
T = ½·c·h = T = ½·c·b·sin(A).
På tilsvarende måde kan det vises at:
T = ½·a·b·sin(C).
T = ½·a·c·sin(B).

#1 Jeg tror ikke, det er Herons formel, der er efterspurgt, da sinus og cosinus bliver nævnt som noget centralt i indlægget. Dog er det et godt alternativ.

#2 Det er også muligt at finde flere tråde herinde omhandlende Herons formel, hvor også beviset er vist (i hvert fald to af de tråde, jeg har set):
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=319805
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=135495
Det kan bevises udelukkende med Pythagoras' læresætning, men det kan også bevises ved at inddrage cosinus og sinus.

Jeg er ude efter det mest overskuelige altså det bevi der er i kortest træk hvis man kan sige det sådan..?

#6 Rettelse:
"hvor h står vinkel c"
-->
hvor h står vinkelret på c

#7 Så er det nok den, der bliver henvist til i #5 og gennemgået i #6. Du kan nøjes med at læse fra "Her fremgår et eksempel" i #6 og tage højde for ovenstående rettelse. Du kan jævnføre figuren i linket fra #5, hvor der dog tages udgangspunkt i andre sider, men det er samme princip.

sinus og cosinus
se
http://www.peecee.dk/index.php?id=50178

Se evt:
Video-klip for beviset:
http://peecee.dk/?id=5269



sinusrelationen
1) tegn en vilkårlig trekant

2) konstruer valgfrit to midtnormaler

3) med midtnormalernes skæringspunkt, D, som centrum og afstanden til en vilkårlig af trekantens vinkelspidser som radius, R, tegnes trekantens omskrevne cirkel

4) den mindste af buerne BC sættes til 2x°, den mindste af buerne AC sættes til 2y° og den mindste af buerne AB sættes til 2z°

5) ved betragtning af f.eks. trekant BDC og anvendelse af kordeformlen samt at vinkel D, der som centervinkel måles ved den bue, den spænder over fås:

a = 2R*sin(D/2) = 2R*sin(2x°/2) = 2R*sin(x°) = 2R*sin(A), da A er en periferivinkel, som måles ved det halve af den bue, den spænder over

a = 2R*sin(A)
eller

a/sin(A) = 2R

6) nøjagtig den samme bevisførelse gennemføres ved betragtning af trekanterne ADC og ADB

hvoraf

a/sin(A) = b/sin(B) =c/sin(C) = 2R, der udtrykker

at i en vilkårlig trekant ABC er forholdet mellem en vilkårlig side og sinus til den modstående vinkel konstant lig med diameteren i trekantens omskrevne cirkel

arealet,T, af trekant ABC er halvdelen af et parallellogram

altså (1/2)*h_c*c = (1/2)*b*sin(A)*c = (1/2)*bc*sin(A)
plus 2 analoge

som omtalt i #6

Rigtig mange tak for jeres hjælp :)

ups. forkert link :S