Grænse værdier.

Det ser lidt ud som om du blander et par begreber sammen. Men jeg kan lige prøve at give en opsummering af begreberne.


Betragt en funktion f(x). Ved



forstås det tal som f(x) nærmer sig, når x nærmer sig a (man definerer det på en mere stringent måde, men tænk i første omgang på det som jeg skriver det her).


Og nu til differentialkvotienten:

Først opskrives differenskvotienten:

( f(x)-f(a) ) / (x-a)

Ved differentialkvotienten forstås



(det er dette der hentydes ved, når der skrives Lim delta Y / delta X
delta x --> 0 i din bog..)

Hvis du tegner grafen for f, så er differentialkvotienten for et givet x0 lig hældningen af tangenten til grafen for f i punktet (x0 , f(x0)).

Så for at opsummere er differentialkvotenten grænseværdi (x->a) for differenskvotienten.

dvs.
Hvis vi fx har givet følgende;

x = 1.5

a = 1.51

x --> a

Hvis jeg så skal regne grænseværiden ud bliver det så;

f(1.5) = ?

Men når differential kvotienten og grænseværiden hænger sammen således kan jeg vel, hvis jeg får givet f´(x) af en funktion regne mig frem til differential kvotienten og omvendt?

Der gælder, at



hvis funktionen er kontinuert ("sammenhængende").


Og hvis a = 1.5 så er



Jeg kan ikke lige se hvor du vil hen med "a=1.51" ...

Den anden ligning i #3 gælder selvfølgelig også kun hvis f er kontinuert i 1.5

Okay så hvis funktionerne er kontinuerete, kan jeg altså bare indsætte grænseværdien i funktions forskriften og få tallet som reelt set er grænseværdien?

Men vil det også sige, at jeg er nød til at tegne alle funktioner og først bedømme om de er kontinuerete?

Du skriver:


"Okay så hvis funktionerne er kontinuerete, kan jeg altså bare indsætte grænseværdien i funktions forskriften og få tallet som reelt set er grænseværdien?"

Du kan indsætte x-værdien og så fås grænseværdien (hvis funktionen er kontinuert)

"Men vil det også sige, at jeg er nød til at tegne alle funktioner og først bedømme om de er kontinuerete?"

Det er som regel ret let at afgøre om en funktion er kontinuert. Prøv at lav de opgaver i din bog om kontinuitet, så vil du hurtigt kunne bedømme det ud fra forskriften.