Matematik

Talteoretisk opgave

25. oktober 2007 af math-freak++ (Slettet)

Jeg skal vise at polynomiet
p(x) = x^p + p^2*x^2 +px+p-1 er irreducibelt indenfor Q for alle ulige primtal p.

Skal man bruge Euklid?

Svar #1
25. oktober 2007 af math-freak++ (Slettet)

hov! jeg mente Eulers phi-funktion :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. oktober 2007 af MuhammedAbdul (Slettet)

Slettet

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. oktober 2007 af Euler (Slettet)

p(x) er irreducibelt indenfor Q hvis og kun hvis p(x+1) er irreducibelt indenfor Q.

Ved at udnytte binomialformlen får vi følgende polynomium
p(x+1) = SUM(k = 0; n) K(n,k) * x^k + p^2 * (x+1)^2 + p(x+1) + p - 1
= (x^p * K(p,p - 1)x^(p-1) + ... + K(p,1)x + 1) + p^2(x^2 + 2x + 1) + (px + p) + p - 1
= x^p * K(p,p - 1)x^(p-1) + ... + K(p,1)x + p^2*x^2 + (2p^2)x + px + p^2 + 2p.
Det ses, at K(p,a), hvor a = (1,2,...,p-1), er delelig med p. Når p netop er et primtal, er alle koefficienterne (undtagen den sidste) delelige med p. Konstantleddet p^2 + 2p er ikke delelig med p^2, da p er et ulige primtal. Hermed følger det direkte af Eisensteins irreducibilitetskriterium, at p(x+1) og p(x) er irreducibelt indenfor Q.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. oktober 2007 af Esbenps

#2
Bland dig udenom, hvis du ikke har noget fornuftigt at sige...

Svar #5
25. oktober 2007 af math-freak++ (Slettet)

#3 Hvorfor skal p^2 ikke gå op i konstantleddet?

At p(x) er det og p(x+1) følger vel af induktion så?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. oktober 2007 af Euler (Slettet)

For at et givet polynomium er irreducibelt indenfor Q er en af betingelserne, at polynomiets konstantled a_0 ikke må være et multiplum af et primtals kvadrat, og a_n må ikke være et multiplum af dette primtal.

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. oktober 2007 af rosiette (Slettet)

hallo muhammed hvad laver du her hvis du er så klog??! undre mig blot

Skriv et svar til: Talteoretisk opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.