Matematik

finde rumfang med integraler

14. november 2007 af Zalam (Slettet)

Jeg har følgende opgave, jeg har givet følgende udtryk for en funktion:

f(x) = -r/h * x +r

figuren er begrænset af o og h på x-aksen.

Jeg skal nu opstille et udtryk for volumen af den når den drejes 360 grader om x-aksen.

Jeg kan så skrive følgende:

pi * integralen i intervallet h og 0 til f(x)^2 = rumfang.

Dette stemmer i midlertid også men jeg skal vise mellem regningerne.

Så det til sidst giver 1/3 * pi * h * r^2 - altså formlen for areal af en kegle.

for at gøre det vil jeg så udregne f(x)^2 og reducere også får jeg Pi * H * r^2, men hvordan får jeg de 1/3????

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. november 2007 af Hellwrath-90 (Slettet)

Hej ! Som du rigtigt siger så er volumen af omdrejningslegemet omkring x aksen af en given funktion lig med pi*integralet af funktionen i anden. Og og integralet du har opstillet vil i denne formel give rumfanget af en kegle(dvs. omdrejningslegemet fra x=0 til x=h

Når du skriver "Så det til sidst giver 1/3 * pi * h * r^2 - altså formlen for areal af en kegle. " mener du forhåbentligt volumen/rumfanget i stedet for arealet.

Vi kan starte med at kvadrere funktionen.
(-r*x/h+r )^2 er kvadratet på en to leddet størrelse du ved a+b=a^2+b^2+2ab.

derfor kan vi sige

(-r*x/h+r)^2= r^2*x^2/h^2+r^2-2*r*r*x/h Og det er altså den funktion vi skal integrere og derefter gange med pi. Prøv selv derfra.

Mvh Mads :)

Svar #2
14. november 2007 af Zalam (Slettet)

Ja jeg mener volumen/rumfang og ikke arealet af en kegle.

Men du har skrevet funktionen forkert - tror jeg.

Den funktion jeg har er: -r / h (en brøk) * x + r

du skriver (-r*x/h+r) ?

Men skal jeg så bare bruge kvadratsætniningen på -r / h (en brøk) * x + r? gange med pi og interegrere derfra?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2007 af Hellwrath-90 (Slettet)

Du ganger et tal med en brøk ved at gange med tallet i tælleren. Så jeg sætter bare X op i brøken. :) Hvis du bruger tal eksempler vil du se at (5/3)*4 er det samme som (5*4/3

Svar #4
14. november 2007 af Zalam (Slettet)

#3

doh vidste jeg egentlig godt når man tænker over det, - algebraen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. november 2007 af -Zeta- (Slettet)

((-r/h)x + r)²

(r²/h²)x² + r² - 2·(-r/h)x·r

Dette integrerer du og får

(1/3)(r²/h²)·x³ + r²x - ½·2·(r²/h)·x²

Som let kan reduceres til

(1/3)(r²/h²)·x³ + r²x - (r²/h)·x²

Du kan nu sætte h=x, derved får du

(1/3)(r²/h²)·h³ + r²h - (r²/h)·h²

(1/3)(r²·h + r²·h - r²·h)

(1/3)(h·r²)

Som ganges med pi

Vx = pi·(1/3)·h·r²

...dette er lavet i hovedet, så regn selv efter, om der skulle være sket en smutter.

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. november 2007 af Hellwrath-90 (Slettet)

Undskyld glemte slutparentes mente (5*4)/3 pi er nemmest at gange med efter du har integreret :)

koffeicienter til en funktion kan du tillade dig at putte uden for integrale tegnet. Dvs int(pi*f(x) er lig med pi*int(f(x)) hvis du forstår. og ja fordi det er kvadratet af funktionen der skal integreres. Ikke funktionen selv.

Svar #7
14. november 2007 af Zalam (Slettet)

#5

Det gav mening.

For det er jo blot samme udtryk, som hvis man siger Vx = pi * integralen f(x)^2.

Forskellen er blot at jeg udregner f(x)^2 selv der også integrere det udtryk uden de i 2. - reduktionen er blot enkelhed / for syns skyld.

Svar #8
14. november 2007 af Zalam (Slettet)

Kom dog lige til at tænke på, hvilken regne regel gøres der brug af når vi sætter h = x?

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. november 2007 af -Zeta- (Slettet)

#8.
Sådan set gøres der ikke brug af nogen speciel regel. Du indsætter bare grænseværdierne i stedet for x. (Se Eksempel 42 i din bog, hvor det dog ikke er h, men 2 og -2 som indsættes).

Skriv et svar til: finde rumfang med integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.