Matematik
Naturlige tal?!
05. december 2007 af
nullpunkt (Slettet)
To naturlige tal har summen 2002.
Kan 2002 gå op i de to tals produkt?
Dit svar skal begrundes.
Er der nogen der kan hjælpe?
To naturlige tal har summen 2002.
Kan 2002 gå op i de to tals produkt?
Dit svar skal begrundes.
Er der nogen der kan hjælpe?
Svar #3
06. december 2007 af tal-pædagog (Slettet)
2002 = 2*7*11*13
Antag, at det er muligt at skrive 2002 som en sum:
2002 = a + b, hvor a*b kan deles med 2002
Da kan a*b specielt deles med 7, hvorfor enten a eller b kan deles med 7. Antag nu, at a kan deles med 7, hvilket vi skriver a = 7c:
2002 = 7c + b
men heraf følger:
b = 2002 - 7c = 7*(2*11*13 - c)
hvorfor b også kan deles med 7. Da dette kan gøres for hvert af 2002's primfaktorer, dvs. 2, 7, 11 og 13, ses at både a og b kan deles med hele denne liste af primfaktorer. Dvs. at man kan skrive a = 2*7*11*13*m og b = 2*7*11*13*n for naturlige tal m og n, hvor m og n mindst er 1:
2002 = a + b = 2*7*11*13*m + 2*7*11*13*n = 2002*(m + n)
Men dette kan jo ikke lade side gøre, da m og n mindst skal være 1, så slutresultatet mindst bliver 2002*2, dvs. der står 2002 = 2002*k, hvor k mindst er 2, hvilket er en modstrid!
Antag, at det er muligt at skrive 2002 som en sum:
2002 = a + b, hvor a*b kan deles med 2002
Da kan a*b specielt deles med 7, hvorfor enten a eller b kan deles med 7. Antag nu, at a kan deles med 7, hvilket vi skriver a = 7c:
2002 = 7c + b
men heraf følger:
b = 2002 - 7c = 7*(2*11*13 - c)
hvorfor b også kan deles med 7. Da dette kan gøres for hvert af 2002's primfaktorer, dvs. 2, 7, 11 og 13, ses at både a og b kan deles med hele denne liste af primfaktorer. Dvs. at man kan skrive a = 2*7*11*13*m og b = 2*7*11*13*n for naturlige tal m og n, hvor m og n mindst er 1:
2002 = a + b = 2*7*11*13*m + 2*7*11*13*n = 2002*(m + n)
Men dette kan jo ikke lade side gøre, da m og n mindst skal være 1, så slutresultatet mindst bliver 2002*2, dvs. der står 2002 = 2002*k, hvor k mindst er 2, hvilket er en modstrid!
Svar #4
06. december 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Havde der nu stået 14014, så kunne dette tal godt skrives som en sum af to naturlige tal, hvis produkt kan deles med 4004:
14014 = 12012 + 2002
og
(12012*2002)/14014 = 1716
fordi
14014 = 2*7*7*11*13
= (6+1)*2*7*11*13 = 6*2*7*11*13 + 1*2*7*11*13
= 12012 + 2002
Generelt kan alle tal, der har mindst én primfaktor, der indgår med en potens, der mindst er 2 i primfaktoriseringen af tallet, skrives som en sum, hvor leddenes produkt kan deles med det oprindelige tal.
14014 = 12012 + 2002
og
(12012*2002)/14014 = 1716
fordi
14014 = 2*7*7*11*13
= (6+1)*2*7*11*13 = 6*2*7*11*13 + 1*2*7*11*13
= 12012 + 2002
Generelt kan alle tal, der har mindst én primfaktor, der indgår med en potens, der mindst er 2 i primfaktoriseringen af tallet, skrives som en sum, hvor leddenes produkt kan deles med det oprindelige tal.
Skriv et svar til: Naturlige tal?!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.