Matematik
HJÆLP BABYLONSK MATEMATIK??
15. december 2007 af
Ayazaman (Slettet)
Hey alle sammen er det nogen der kan hjælpe???
Dette er spørgsmålene som er blevet stillet.
Via eksempler skal du redegøre for, hvorledes babylonierne arbejdede med de forskellige regningsarter og om de var i stand til at finde rødder i polynomier. Derudover skal redegøres for om 1;24,51,10 er en anden måde at skrive v2 (kvadratrod 2) på.
Inddrage følgende to Babylonske problemer:
1. Summen af to kvadraters areal er 1525. Side op det andet kvadrat er 2/3 af det første plus 5. Find hver af kvadraternes sider(kilde: Katz, Victor., ”A history of Matematics an introduction”.
2. Fladen og kvadrates side har jeg adderet og 0;45 er det. Tag1 koefficient. Halvdelen af 1 brækker du af. 0;30 og 0;30 multiplicerer du. Du føjer 0;15 til 0;45, og 1 har 1 som kvadratrod. 0;30, som du har multipliceret med sig selv, trækker du fra 1, og 0;30 er kvadratets side. (kilde: Lützen, Jesper m.fl. ”kilder til matematikkens historie”, Anden udgave, Matematisk afdeling KBH universitet.
1000 tak på forhånd..
Dette er spørgsmålene som er blevet stillet.
Via eksempler skal du redegøre for, hvorledes babylonierne arbejdede med de forskellige regningsarter og om de var i stand til at finde rødder i polynomier. Derudover skal redegøres for om 1;24,51,10 er en anden måde at skrive v2 (kvadratrod 2) på.
Inddrage følgende to Babylonske problemer:
1. Summen af to kvadraters areal er 1525. Side op det andet kvadrat er 2/3 af det første plus 5. Find hver af kvadraternes sider(kilde: Katz, Victor., ”A history of Matematics an introduction”.
2. Fladen og kvadrates side har jeg adderet og 0;45 er det. Tag1 koefficient. Halvdelen af 1 brækker du af. 0;30 og 0;30 multiplicerer du. Du føjer 0;15 til 0;45, og 1 har 1 som kvadratrod. 0;30, som du har multipliceret med sig selv, trækker du fra 1, og 0;30 er kvadratets side. (kilde: Lützen, Jesper m.fl. ”kilder til matematikkens historie”, Anden udgave, Matematisk afdeling KBH universitet.
1000 tak på forhånd..
Svar #1
15. december 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Problem 1:
Der står vel a² + b² = 1525 sammen med oplysningen, at b = 2/3*a + 5. Derved opnås en andengradsligning:
a² + (2/3*a + 5)² = 1525
<=>
13/9*a² + 20/3*a - 1500 = 0
Hvilket giver den positive løsning a = 30, hvilket betyder b = 25. Men hvordan babylonierne gjorde det, er jeg ikke klar over!
Problem 2:
x² + x = 0;45
Hvor 0;45 er et sexagesimaltal, dvs. 0;45 = 45/60 = 3/4. For at kunne "regne" geometrisk på problemet, forestiller babylonieren sig, at der er tale om to arealer, nemlig kvadratet x*x og rektanglet x*1:
x(x+1) = 3/4
Jeg tror, at 1-tallet i parentesen er den omtalte koefficient. Dernæst halveres rektanglet x*1 i to rektangler x*½, og ved at placere disse to langs to af kvadratets sider (ikke modstående sider), fremkommer næsten et kvadrat med sidelængder x+½, på nær i hjørnet hvor de to x*½ rektangler rører hinanden. I det hjørne mangler der nemlig et kvadrat, der er ½*½:
(x+½)(x+½) = 3/4 + ½*½
Her skal det bemærkes, at 0;30 = ½ og at når dette multipliceres med 0;30 (dvs. sig selv) giver det 0;15, som jvf. ovenstående ligning bliver lagt til de 0;45. Med andre ord er ligningen/problemet nu reduceret til:
(x+½)² = 1
Dette giver os let, at x+½ må være 1. Derfra regner babylonieren til sidst baglæns: "0;30, som du har multipliceret med sig selv, trækker du fra 1", hvorved han opnår x = 0;30 eller x = ½.
Men tænk hele tiden på, at det skal kunne tegnes geometrisk som arealer, så hvis det går helt galt, må du afkræve mig en tegning...
Jeg håber meget noget af det kan bruges!
Forresten er 1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = (1*60³+24*60²+51*60+10)/60³ = 305.470/216.000. For at undersøge, om dette er en fornuftig tilnærmelse til kvadratroden af 2, skal du blot opløfte tælleren i anden og se, om den ca. giver det dobbelte af nævneren i anden:
305.470² = 93.311.920.900
og
2*216.000² = 93.312.000.000
så
305.470² = 2*216.000² - 79100
Men det interessante her er også, hvorvidt 1;24,51,10 er det bedste tal med dette antal sexagesimaler, dvs. om 1;24,51,11 og 1;24,51,9 er ringere. Det svarer til at tjekke, om 305.471² eller 305.469² ligger længere fra 2*216.000²:
305.471² = 2*216.000² + 531841
og
305.469² = 2*216.000² - 690039
Konklusionen er, at 1;24,51,10 er den bedste tilnærmelse, man kan lave til kvadratroden af 2 med 3 sexagesimaler!
Der står vel a² + b² = 1525 sammen med oplysningen, at b = 2/3*a + 5. Derved opnås en andengradsligning:
a² + (2/3*a + 5)² = 1525
<=>
13/9*a² + 20/3*a - 1500 = 0
Hvilket giver den positive løsning a = 30, hvilket betyder b = 25. Men hvordan babylonierne gjorde det, er jeg ikke klar over!
Problem 2:
x² + x = 0;45
Hvor 0;45 er et sexagesimaltal, dvs. 0;45 = 45/60 = 3/4. For at kunne "regne" geometrisk på problemet, forestiller babylonieren sig, at der er tale om to arealer, nemlig kvadratet x*x og rektanglet x*1:
x(x+1) = 3/4
Jeg tror, at 1-tallet i parentesen er den omtalte koefficient. Dernæst halveres rektanglet x*1 i to rektangler x*½, og ved at placere disse to langs to af kvadratets sider (ikke modstående sider), fremkommer næsten et kvadrat med sidelængder x+½, på nær i hjørnet hvor de to x*½ rektangler rører hinanden. I det hjørne mangler der nemlig et kvadrat, der er ½*½:
(x+½)(x+½) = 3/4 + ½*½
Her skal det bemærkes, at 0;30 = ½ og at når dette multipliceres med 0;30 (dvs. sig selv) giver det 0;15, som jvf. ovenstående ligning bliver lagt til de 0;45. Med andre ord er ligningen/problemet nu reduceret til:
(x+½)² = 1
Dette giver os let, at x+½ må være 1. Derfra regner babylonieren til sidst baglæns: "0;30, som du har multipliceret med sig selv, trækker du fra 1", hvorved han opnår x = 0;30 eller x = ½.
Men tænk hele tiden på, at det skal kunne tegnes geometrisk som arealer, så hvis det går helt galt, må du afkræve mig en tegning...
Jeg håber meget noget af det kan bruges!
Forresten er 1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = (1*60³+24*60²+51*60+10)/60³ = 305.470/216.000. For at undersøge, om dette er en fornuftig tilnærmelse til kvadratroden af 2, skal du blot opløfte tælleren i anden og se, om den ca. giver det dobbelte af nævneren i anden:
305.470² = 93.311.920.900
og
2*216.000² = 93.312.000.000
så
305.470² = 2*216.000² - 79100
Men det interessante her er også, hvorvidt 1;24,51,10 er det bedste tal med dette antal sexagesimaler, dvs. om 1;24,51,11 og 1;24,51,9 er ringere. Det svarer til at tjekke, om 305.471² eller 305.469² ligger længere fra 2*216.000²:
305.471² = 2*216.000² + 531841
og
305.469² = 2*216.000² - 690039
Konklusionen er, at 1;24,51,10 er den bedste tilnærmelse, man kan lave til kvadratroden af 2 med 3 sexagesimaler!
Svar #2
15. december 2007 af Ayazaman (Slettet)
Ej helt ærligt 1000 tak, for hjælpen. Seriøst. Det er super lækkert. Mange mange tak.
Jeg har forresten et spørgsmål mere.
Om du kan hjælpe med dette problem??
Via eksempler skal du redegøre for, hvorledes babylonierne arbejdede med de forskellige regningsarter og om de var i stand til at finde rødder i polynomier.
Jeg har forresten et spørgsmål mere.
Om du kan hjælpe med dette problem??
Via eksempler skal du redegøre for, hvorledes babylonierne arbejdede med de forskellige regningsarter og om de var i stand til at finde rødder i polynomier.
Svar #3
20. december 2007 af An.He (Slettet)
Hej sidder med den samme opgave.. Og har et spørgsmål til problem 2
er svaret så:
x = 0;30 eller x = ½.
er svaret så:
x = 0;30 eller x = ½.
Skriv et svar til: HJÆLP BABYLONSK MATEMATIK??
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.