kunsten at kunne matematik

Dit spørgsmål er aaalt for bredt til at nogen gider/kan give et fyldestgørende svar. Prøv at gå på biblioteket og lån et par matematikbøger. Der er det hele beskrevet på en pædagogisk måde.

sin-relationen:

1) tegn en vilkårlig trekant

2) konstruer valgfrit to midtnormaler

3) med midtnormalernes skæringspunkt, D, som centrum og afstanden til en vilkårlig af trekantens vinkelspidser som radius, R, tegnes trekantens omskrevne cirkel

4) den mindste af buerne BC sættes til 2x°, den mindste af buerne AC sættes til 2y° og den mindste af buerne AB sættes til 2z°

5) ved betragtning af f.eks. trekant BDC og anvendelse af kordeformlen samt at vinkel D, der som centervinkel måles ved den bue, den spænder over fås:

a = 2R*sin(D/2) = 2R*sin(2x°/2) = 2R*sin(x°) = 2R*sin(A), da A er en periferivinkel, som måles ved det halve af den bue, den spænder over

a = 2R*sin(A)
eller

a/sin(A) = 2R

6) nøjagtig den samme bevisførelse gennemføres ved betragtning af trekanterne ADC og ADB

hvoraf

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, der udtrykker at,

i en vilkårlig trekant ABC er forholdet mellem en vilkårlig side og sinus til den modstående vinkel konstant (lig med diameteren i trekantens omskrevne cirkel)


cos-relationen:

trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet

med
1) A i (0,0)

2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1

4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D

dermed er vinkel B spids

ved figurbetragtning ses:

c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2

*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)


beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:

ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1

og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2

**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

eneste forskel på *) og **) er

i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)

bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.

Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer

jeg har 7 forskellige bøger, men de er rimelig gamle, og der står ikke beviserne for hvorfor det er sådan, men vil da fare ned på biblioteket og se om der er nogen hjælp at hente i de matematik bøger som er der.

fuuuck

er der evt et godt matematik leksikon på nettet hvor man kan slå de forskellige emner op, det kunne være lidt nemmere.

er det her et godt nok bevis for potensfunktionen b*X opløftet i a?

Potensfunktioner har regneforskrifter af type

f(x) = b · xa, Dm(f) = R+, hvor a og b > 0 er tal.
Eksempler er a ·x, a / x, x2 og vx.

Indeholder grafen punkterne (x1, y1) = (x1, b · x1a) og (x2, y2) = (x2, b · x2a), er

log(b) + a log(x1) = log(y1) og log(b) + a log(x2) = log(y2).
Trækkes den første fra den sidste, har vi a · (log(x2) – log(x1)) = log(y2) – log(y1), så

a = log(y2) – log(y1)
--------------------------------------------------------------------------------
log(x2) – log(x1) og b = y1
--------------------------------------------------------------------------------
x1a .

#6 Nej

fedt