Matematik

Opgaver i Modellering

03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

http://peecee.dk/upload/view/88101

Jeg har svært ved følgende opgaver. Er der nogen, som vil lave nogen af dem?

Opg. 39 (iii) og gør rede for at X og Y har samme fordeling.

Opg. 45
Opg. 53
Opg. 54

Opg. 60 punkt 5) og 11)
Opg. 65 punkt b)

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar 2008 af sigmund (Slettet)

Jeg gider ikke lave opgaverne for dig. Du må komme med et bud først. For opg. 39(iii), hvordan fandt du p_X(x)? Kan du ikke argumentere for p_Y(y) på samme måde?

Svar #2
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

Jeg har jo problemer med disse opgaver.

Opg. 68 punkt 4.
Y = (1/4) X^2 => 2*Y^0,5 = x = x(y)
Den er ikke injektiv, så jeg ved ikke om man kan bruge transformationssætningen.

|dx/dy (y)| = Y^(-0,5).

f_Y (y) = |dx/dy (y)| * f_X (x) = y^-0,5 *2Y^0,5 = 1/2

Så f_Y (y) = { 1/2 , x tilhører [0,2]
og 0 ellers.

Er det rigtigt? Hvad mangler jeg?

Svar #3
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#2 Jeg finder p_X (x) ved at summere den simultane funktion P_X,Y (x,y).
Jeg har også fundet p_Y(y) på tilsvarende måde, men hvordan finder jeg P(X<Y) ??

Svar #4
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

Opg. 69 punkt 4:
Den løses tilsvarende via transformationssætningen.
Y=1-X => x(y) = 1-Y. Den er injektiv.

|dx/dy (y)| = -1.

f_Y (y) = -1(1-Y) = Y -1, og heraf ser vi at de har samme fordeling.

Svar #5
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

Opg. 70 punkt 3:
Vi skal finde Var(X1 + X2) og Var(X1 - X2).
Da X1 og X2 er uafhængige har vi at

Var(X1 +X2) = Var(X1) + Var(X2)
og
Var(X1 - X2) = Var(X1) + Var(X2) , er det forstået rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. januar 2008 af sigmund (Slettet)

#5,

Ja, rigtigt.

De andre vender jeg tilbage til.

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. januar 2008 af tal-pædagog (Slettet)

opgave 45:
(i)
Her handler det om hændelsen max{X1,...,Xn} =< v. Det gælder om at overbevise sig selv om, at hændelsesmængden er tensorproduktet af mængderne {Xi =< v}. Med andre ord, at der gælder:

max{X1,...,Xn} =< v

<=>

Xi =< v for i indeholdt i {1,...,n}

Til slut skal man bruge uafhængigheden til at begrunde, at man blot tager produktet af sandsynlighederne.

(ii)
som i opgavehæftet er numereret forkert :)
Her skal der lidt mere omskrivning til, men princippet er det samme, nemlig:

min{X1,...,Xn} =< u

<=>

der eksisterer et i indeholdt i {1,...,n} så Xi =< u

Hvorfor det nu er mere fornuftigt at se på den komplementære hændelse:

min{X1,...,Xn} > u

<=>

for alle i, der er indeholdt i {1,...,n} gælder at Xi > u

For at dette igen får noget med fordelingsfunktioner at gøre, er det fornuftigt at se på komplementet af de enkelte dele af hændelsen, nemlig:

for hvert i indeholdt i {1,...,n} er hændelsen
Xi > u

komplementet til hændelsen

Xi =< u

De to gange, jeg har taget komplementet af en hændelse undervejs, forklarer, hvorfor der to steder i resultatet står 1 - noget.

Dette er jo ikke kortfattet hyggelæsning, så fortsættelse følger...

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. januar 2008 af sigmund (Slettet)

Hvad er transformationssætningen? Den kender jeg ikke til? Hvad siger den? Har du en reference?

#3,

Hvis du har p(x,y) = p(X=x,Y=y), så er P(Xx}p(x,y). Jeg håber, du forstår.

Svar #9
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

http://peecee.dk/upload/view/88261

Nogen der vil rette og hjælpe ?

Svar #10
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#8 Hvis man har en stokastisk variabel X. Så gør vi noget med den fx X^2. Vi kender fordelingen for X, men hvad er fordelingen af X^2? Dér benytter vi transformationssætningen.

Svar #11
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#8 p(x,y) = p(X=x,Y=y), så er P(Xx}p(x,y).

Så først summere vi p(x,y) hvor x>y, og derfter summere vi dette udtryk af x?

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. januar 2008 af sigmund (Slettet)

#11,

Netop!

#10,

Ja, det kan jeg regne ud, men hvordan lyder den?

Svar #13
03. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

f_Y (y) = |dx/dy (y)| * f_X (x)

Brugbart svar (0)

Svar #14
03. januar 2008 af tal-pædagog (Slettet)

hov... det skal være funktioner af y, så derfor:

f_Y (y) = |dx/dy (y)| * f_X (x(y))

hvor funktionen y(x) transformerer X til Y, mens funktionen x(y) er den inverse, som transformerer Y til X, tror jeg

Brugbart svar (0)

Svar #15
03. januar 2008 af sigmund (Slettet)

#13,

Aha, så er jeg med. Det står under 'change og variable' i den bog, jeg har. Der er en sætning: One-to-One Change of Variable for Densities:

Let X be a random variable with density f_X(x) on the range (a,b).
Let Y = g(X) where g is either strictly increasing or strictly decreasing on (a,b). The range of Y is then an interval with endpoints g(a) og g(b). And the density of Y on this interval is

f_Y(y) = f_X(x)/|dy/dx| where y = g(x).

The equation y = g(x) must be solved for x in terms of y, and this value of x substituted into f_X(x) and dy/dx. This will leave an expression for f_Y(y) entirely in terms of y.

I opg. 68.4 må du dele op i to tilfælde, fordi du har både x = y^(1/2) og x = -y^(1/2). Jeg kan gengive et eksempel fra bogen:

Suppose X has density f_X(x). Find a formula for the density of Y = X².

Here, for y > 0, there are two values x such that x² = y, namely, x = y^(1/2) and x = -y^(1/2). Since dy/dx = 2x,

f_Y(y) = Sum{x=±y^(1/2)}f_X(x)/|2x| = [f_X(y^{1/2})+f_X(-y^{1/2})]/[2*y^(1/2)].

Svar #16
04. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

Er fortegnene i #5 korrekte?
Var(X+Y) = Var(X-Y) ?

Opg. 68 punkt 4.
Y = (1/4) X^2 => 2*+-Y^0,5 = x = x(y)
Vi danner de to tilfælde

|dx/dy (y)| = Y^(-0,5).

f_Y (y) = |dx/dy (y)| * f_X (x) =

Tilfælde I: y^-0,5 *2Y^0,5 = 1/2
Tilfælde II: y^-0,5 *2 (-Y^0,5) = -1/2

Hvad kan jeg så konkludere?

Brugbart svar (0)

Svar #17
04. januar 2008 af sigmund (Slettet)

Du har Y = (1/4)*X², dvs. dy/dx = x/2. Desuden har du x = ±2*y^(1/2). Så er

f_Y(y) = [f_X(2*y^(1/2))+f_X(-2*y^(1/2))]/[y^(1/2)] = 2*y^(-1/2)*[f_X(2*y^(1/2))+f_X(-2*y^(1/2))].

Klarer du den herfra? (Hvis du kan læse det, jeg skriver.)

Svar #18
04. januar 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#17 Jeg forstår ikke hvorfor du skriver
"f_Y(y) = [f_X(2*y^(1/2))+f_X(-2*y^(1/2))]/[y^(1/2)] = 2*y^(-1/2)*[f_X(2*y^(1/2))+f_X(-2*y^(1/2))]. "

Opg. 65 punkt b)
Vi har f_Y1 og vi skal nu finde f_Y2:

f_X2 (x2) = S(0;1) x1+x2 dx2 = x2+0,5x2 ^2

Y2=X1 + X2

Hvis X1 og X2 er uafhængige gælder
f_Y2 = S f_X1 (x1) * f_X2 (Y-X2) dx1 , så må vel bare antage at de er uafhængige, er det den rigtige fremgangsmåde?

Skriv et svar til: Opgaver i Modellering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.