Matematik
Vis at S er en delring af R?
05. januar 2008 af
Michaelosm (Slettet)
Jeg har lidt problemer med hvordan jeg løser en opgave i faget "Ringe og talteori". Opgaven lyder:
Sæt S={a+b*5^(1/2)|a, b tilhører Z}
Vis at S er en delring af R.
Nogen ideer til hvordan den løses?
På forhånd tak.
\\Michael
Sæt S={a+b*5^(1/2)|a, b tilhører Z}
Vis at S er en delring af R.
Nogen ideer til hvordan den løses?
På forhånd tak.
\\Michael
Svar #1
05. januar 2008 af Euler (Slettet)
Lad os betragte mængden S = {a+b*5^0,5 | a,b tilhører Z}.
Vi ved, at R er en ring og S er en delmængde af R.
Vi vil nu først vise at det er et talområde. Der skal hermed gælde, at hvis r og s ligger i T (talområdet) skal r+s og r*s tilhører T.
r = k +l*5^0,5
og s = a+b*5^0,5 og basale udregninger giver så at
r+s = (k+l*5^0,5) + (a+b*5^0,5) = (k+a) +(l+b)*5^0,5
rs = (k+l*5^0,5)(a+b*5^0,5) = (ka+2lb) + (kb+la)*5^0,5
Vi skal nu vise at der findes et nul- og et et-element, og det kan vi se direkte på S.
Til sidst skal vi vise, at der eksisterer et additivt invers element i R.
-r = -(k+l*5^0,5) = (-k)0(-l)*5^0,5, som er i R.
Hermed er S en delring af R.
Jeg har benyttet aksiomerne for et talområde samt antagelsen om at 5^0,5 eksisterer for at kunne løse opgaven.
Vi ved, at R er en ring og S er en delmængde af R.
Vi vil nu først vise at det er et talområde. Der skal hermed gælde, at hvis r og s ligger i T (talområdet) skal r+s og r*s tilhører T.
r = k +l*5^0,5
og s = a+b*5^0,5 og basale udregninger giver så at
r+s = (k+l*5^0,5) + (a+b*5^0,5) = (k+a) +(l+b)*5^0,5
rs = (k+l*5^0,5)(a+b*5^0,5) = (ka+2lb) + (kb+la)*5^0,5
Vi skal nu vise at der findes et nul- og et et-element, og det kan vi se direkte på S.
Til sidst skal vi vise, at der eksisterer et additivt invers element i R.
-r = -(k+l*5^0,5) = (-k)0(-l)*5^0,5, som er i R.
Hermed er S en delring af R.
Jeg har benyttet aksiomerne for et talområde samt antagelsen om at 5^0,5 eksisterer for at kunne løse opgaven.
Svar #2
05. januar 2008 af Michaelosm (Slettet)
Tusind tak for det gode svar! Jeg har en del opgaver der ligner den en del, men dem tror jeg sagtens jeg kan løse nu.
Skriv et svar til: Vis at S er en delring af R?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.