matematik

Det størst mulige areal for et sådant vindue er, hvis rektangelet under den halvecirkel er et kvadrat; altså hvor allesiderne er lige lange.
Lad os kalde siden af kvadratet for a.

Vi får givet at omkredsen af vinduet er 4 m.
Omkredsen af vinduet er omkredsen af den halvecirkel + 3*a (altså længden af de 3 sider på kvadratet). Lad os finde væriden a.
Generalt har vi at omkreden af en cirkel = 2*pi*r.
Dvs. omkredsen af en halvcirkel = 1/2*(2*pi*r) = pi*r
Dvs. vi har følgende:
pi*r + 3a = 4
Radiusen r = 1/2*a. Vi får
pi*(1/2*a) + 3a = 4 <=>
(pi/2)*a + (6/2)*a = 4 <=> (da 3 = 6/2)
((pi+6)/2)*a = 4 <=>
(pi+6)*a = 8 <=>
a = 8/(pi+6)

Arealet af vinduet bliver altså:
Arealet af kvadratet (a^2) + arealet af den halvecirkel (1/2 * pi * r^2).
Dvs arealet bliver:
a^2 + (1/2)* pi * ((1/2)*a)^2 =
a^2 + (pi/2) * (a^2/4) =
a^2 + (a^2*pi)/8

I decimaler bliver resultatet ca. 1.067 m^2, når man indsætter a = 8/(pi+6).

Ps. Prøv at skrive mellem beregningerne på et stykke papir, hvis de ikke er klare nok her. Fordi man kan ikke skrive brøker og potenser på en pæn måde her :)