Matematik
Korteste afstand ml. punkt og linje
19. februar 2008 af
Nyx84 (Slettet)
En cirkel C og linje l er givet ved
C: (x-3)^2 + (y-4)^2 =16
l: x= -3 +t*1
y= 3 + t*-1
Bestem det punkt på cirklen C, der har den korteste afstand til linjen l.
C: (x-3)^2 + (y-4)^2 =16
l: x= -3 +t*1
y= 3 + t*-1
Bestem det punkt på cirklen C, der har den korteste afstand til linjen l.
Svar #1
19. februar 2008 af mathon
ved eliminering af t
fås
l: y = -x (altså vinkelhalveringslinjen i 2. og 4. kvadrant)
det søgte punkt ligger
udover at ligge på cirklen, ligger det søgte punkt på linjen gennem C(3,4) vinkelret på l
med ligningen
m: y = 1*x+b, som ved indsættelse af c*s koordinater giver
4 = 3+b, hvoraf
b = 1
altså:
m: y = x+1 og punktet (xo,yo) beliggende på halvcirklen under C,
dvs
-1<xo<7 og 0<yo<4
og
yo = xo+1 og (xo-3)^2 + (yo-4)^2 = 16, hvoraf
(xo-3)^2 + (xo+1-4)^2 = 16 eller
(xo-3)^2 + (xo-3)^2 = 16 som kan reduceres
til
2xo^2-12xo+2 = 0 eller
xo^2-6xo+1 = 0
med rødderne
xo1 = 3-2sqrt(2) = ca. 0,171573 og xo2 = 3+2sqrt(2) = ca. 5,82843
med de koordinerede y-værdier
yo1 = 4-2sqrt(2) = ca. 1,17157 og yo2 = 4+2sqrt(2) = ca. 6,82843
af
Po1(0.171573;1.17157) og Po2(5.82843;6.82843) må Po2 forkastes da 0<yo<4 ikke er opfyldt
konklusion:
det punkt på cirklen, C, der har den korteste afstand til linjen l
er
Po1(0.171573;1.17157)
fås
l: y = -x (altså vinkelhalveringslinjen i 2. og 4. kvadrant)
det søgte punkt ligger
udover at ligge på cirklen, ligger det søgte punkt på linjen gennem C(3,4) vinkelret på l
med ligningen
m: y = 1*x+b, som ved indsættelse af c*s koordinater giver
4 = 3+b, hvoraf
b = 1
altså:
m: y = x+1 og punktet (xo,yo) beliggende på halvcirklen under C,
dvs
-1<xo<7 og 0<yo<4
og
yo = xo+1 og (xo-3)^2 + (yo-4)^2 = 16, hvoraf
(xo-3)^2 + (xo+1-4)^2 = 16 eller
(xo-3)^2 + (xo-3)^2 = 16 som kan reduceres
til
2xo^2-12xo+2 = 0 eller
xo^2-6xo+1 = 0
med rødderne
xo1 = 3-2sqrt(2) = ca. 0,171573 og xo2 = 3+2sqrt(2) = ca. 5,82843
med de koordinerede y-værdier
yo1 = 4-2sqrt(2) = ca. 1,17157 og yo2 = 4+2sqrt(2) = ca. 6,82843
af
Po1(0.171573;1.17157) og Po2(5.82843;6.82843) må Po2 forkastes da 0<yo<4 ikke er opfyldt
konklusion:
det punkt på cirklen, C, der har den korteste afstand til linjen l
er
Po1(0.171573;1.17157)
Skriv et svar til: Korteste afstand ml. punkt og linje
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.