differentialligning - har brug for hjælp

Først skal du have løst differntielligningen. Det gør du på lommeregneren ved at skrive:
desolve(y'=2x+5-y,x,y)
Den giver dig en løsning. I den løsning skal du have bestemt c så ligningen y=1 er tangent til løsningen. det gør du ved at differentiere løsningen, sætte den lig 0, isolere x og sætte ind i løsningen samtidig med du sætter y=1. Når du har fundet c sætter du den ind i løsningen og differentierer to gange for at finde f''

Du kan som udgangspunkt ikke bruge oplysningen om tangentens ligning til noget, da du ikke kender tangentens 1. koordinat (x0) i skæringspunktet med funktionen y.

Differenter y' = 2x + 5 - y to gange:

y' = 2x + 5 - y ==> y'' = 2 - y' ==> y''' = -y''

Divider på begge sider af lighedstegnet med y'' (y'' forskellig fra 0 for alle x):

y'''/y'' = -1

Venstresiden omskrives til:

d(ln(y''))/dx = -1

Ved integration får du:

ln(y'') = -x + c

hvor c er den sædvanlige konstant for et ubestemt integral.

Endvidere har vi:

y'' = c1*e^-x ==> y' = -c1*e^-x + c2 ==> y = c1*e^-x + x*c2 + c3

Vi ved nu om y':

y' = 2x + 5 - y = 2x + 5 - (c1*e^-x + x*c2 + c3)

hvoraf vi finder c2 = 2 og c2 = 5 - c3 <==> c3 = 5 - c2 = 5 - 2 = 3

Altså har vi:

y ' = -c1*e^-x + 2 ==> y = c1*e^-x + 2x + c3 = c1*e^-x + 2x + 3

Du har en linie med ligningen y = 1. Liniens ligning er givet ved:

y(x) = y'(x0)*(x-x0) + y(x0)

Du får oplyst:

y(x) = y(x0) = 1 (altså er y'(x0) = 0)

Vi skal altså løse:

y'(x0) = -c1*e^-x0 +2 = 0 <==> c1*e^-x0 = 2

Da skæringspunktets 1. koordinat (x0) er ukendt, kan konstanten c1 ej bestemmes.

En forskrift for y er derfor y = c1*e^-x + 2x + 3