Tredjegradsligning uden hjælpemidler

øhm? Skal du finde nulpunkterne?

I så fald:
0=x^3 - 5x^2 + 10x - 6

Gæt en rod(1 ville være et godt bud)
og udfør herefter polynomiers division, hvormed du får dig en andengradsligning som løses ved brug af den generelle løsningsformel.

Ja jeg skal finde nulpunkt(erne). Jeg forstår ikke, hvad går polynomiers division ud på?

#2
Prøv at søge på polynomiers division her på portalen, så vil du finde glimrende forklaringer herpå.

#1 Hvad er det i øvrigt, der gør, at du siger, at 1 ville være et godt bud?

#4 Glem det. Det er jo åbenlyst.

0=x^3-5x^2+10x-6

=>

6=x(x^2-5x+10)

Vi har altså så, at løsningerne skal være en faktor i konstantleddet 6. Indsnævret er mulighederne så:

x=±1 v x=±2 v x=±3 v x=±6

Da vi hurtigt indser, at 1 er en løsning, benytter vi os af polynomiers division:

(x^3-5x^2+10x-6) : (x-1) = x^2-4x+6

x^3-x^2

------------------------

-4x^2+10x-6

-4x^2+4x

------------------------

6x-6

6x-6

----------------------

0 (rest)

Da har vi altså, at polynomiet kan skrives på faktoriseret form:

x^3-5x^2+10x-6=(x^2-4x+6)(x-1)

hvorfor vi også ved, at:

0=(x^2-4x+6)(x-1)

Af nulreglen følger nu, at:

x^2-4x+6=0 v x-1=0

For den fremkomne andengradsligning beregner vi diskriminanten:

d=(-4)^2-4*1*6 => d=16-24 => d=-8

Da denne er negativ, ved vi, at der ingen reelle løsninger er, hvorfor vi finder, at den eneste løsning til tredjegradsligningen i de reelle tals løsningsmængde er:

x=1

som vi havde lidt problemer med for et par år siden.

Polynomiers division er blot det at dividere et polynomium op i et andet, det gøres ligesom at dividere to tal op i hinanden.