rødder / faktorisering?

f(x) = x^2 - x - 2
du kan gøre, som du foreslog


d = (-1)^2-4*1*(-2) = 1+8 = 9 = 3^2>0
hvorfor der er to rødder
og
sqrt(d) = 3

rødderne:
x1 = (-b-sqr(d))/(2a) = (-(-1)-3)/2) = (1-3)/2 = -1
x1 = (-b+sqr(d))/(2a) = (-(-1)+3)/2) = (1+3)/2 = 2

f(x) = 1*(x-(-1))(x-2)
f(x) = (x+1))(x-2)

Metoden i #1 er fuldstændig korrekt, men også helt unødvendig.

Din funktion f(x) = x^2 - x - 2 er "normeret", dvs. at koefficienten på andengradsleddet er 1 (a = 1). Det betyder, at det er muligt at gætte sig til rødderne meget hurtigt. Der gælder nemlig følgende regel for rødderne r1 og r2 og hvor a, b og c er de sædvanlige koefficienter til andengradspolynomiet:

r1+r2 = -b
r1*r2 = c

I det her tilfælde er c = -2 og b = -1, så vi leder altså efter to tal, som lagt sammen giver 1 og ganget sammen giver -2.

Kigger vi først på deres produkt, som skal være -2 så er det første der falder mig ind tallene -1 og 2 eller 1 og -2. Deres sum skal være 1, så vi har altså nu fundet rødderne -1 og 2, hvilket giver os

f(x) = (x+1)(x-2)

Det virker måske en smule forvirrende til at begynde med, men meget hurtigt foregår det faktisk bare som en meget hurtig hovedregning!

...og eksemplificerer den
almene regel, at

i en reduceret, normeret og ordnet 2.gradsligning
x^2 + ax + b = 0 med rødderne p og q
gælder

x^2 + ax + b = x^2 + (-(p+q))x + (pq),
hvoraf

a = -(p+q) og b = pq

a = røddernes sum med modsat fortegn
b = røddernes produkt