Idéer til 3.g opg i matematik?

Overvejer måske også statistik men ved ikke så meget om det og har heller ikke haft sandsynlighedsregning endnu

Jeg har lige skrevet opgave om Super Simpsons formel.

Du kender muligvis Simpson-formlen, som benyttes til at tilnærme arealet under en kurve, Sf(x)dx.
Det samme gælder Super Simpson, men som navnet antyder er den noget mere nøjagtig.

Sfærisk geometri er et solidt, men selvfølgelig også ret ordinært emne. Det er ganske bredt, og man kan anlægge en historisk indgangsvinkel, hvis man er til den slags.

Integraler er, som du selv siger, meget bredt. Jeg mindes her på studieportalen at have set en SSO om dobbeltintegraler engang - det var måske noget? Ellers er det ret svært at finde noget fornuftigt omhandlende integraler. Enten er det alt for svært, eller også har I allerede haft det i den almindelige undervisning.

Statistik synes jeg selvfølgelig er en rigtig god idé. Dels kan det være meget anderledes end det, du laver i matematik normalt. Dels er det utvivlsomt noget nemmere at imponere din lærer (de færreste matematiklærere er velbevandrede i statistik). Det vil være oplagt at kaste sig over et regulært statistisk problem og gennemføre en eller anden form for dataanalyse. Eller hvad med statistiske ekspertsystemer (Bayesianske netværk)? Det kræver ikke kendskab til ret meget ny teori, men har til gengæld nogle meget interessante anvendelser.

For deciderede forslag til SSO-opgaver med traditionel statistisk modellering, prøv at se nederst på denne side under gymnasieprojekter:

http://www.math.aau.dk/~s0ren/

Og husk, selv om det måske virker meget "anvendt" bestemmer man helt selv omfang og sværhed af teorien - og der er rigeligt af den i statistik. Til gengæld er det ikke nødvendigt at forstå teorien i detaljer for at kunne anvende den...

Du kunne skrive om Fibonaccis talrække - der findes en SSO om emnet her på siden.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 etc

Det sjove ved den er at den findes en del steder i naturen og har at gøre med det gyldne snit.

#3 har altså stadig ikke rigtig styr på hvad præcist statistik er. ER det bare at bruge stokastisk variabel og alt det andet basale gymnasie stof? Nogen der kender et sted (andet end det link der stod i #3) hvor man kan læse om det.

Synes sfærisk geometri ser meget spændende ud, men ka heller ikek helt finde ud af med mig selv om det ikke er dumt at tage et så klassisk emne.

Super simpsons formel må du meget gerne fortælle meget om, har ikke umiddelbart kunne finde noget på nettet om den.

Andre idéer er stadig velkomne

Ellers har jeg også andre idéer selv:
Euklids elementer (hvad er det helt det er?)

Optimering (hvordan skriver man en god opgave om det?)

Fraktaler (umiddelbart helst uden komplekse tal, hvis man kan det?)

Differential og/eller integral regning

Statistik er en rimelig bred term. En meget grov opdeling af statistik er hhv. deskriptiv statistik og statistisk inferens. Førstnævnte er bl.a. det man lærer i folkeskollen med at præsentere/beskrive data med tilhørende diagrammer, grafer, beregning af gennemsnit osv. Det er der ikke meget matematik i. Her er statistisk inferens langt mere interessant.

"Sædvanlig" statistisk inferens drejer sig kort fortalt om følgende problem: du har givet en eller anden population (fx alle mænd) i Danmark for hvilken du ønsker at beskrive et eller andet kvantitativt (fx højden) med en matematisk model. Din statistiske model for danske mænd kunne f.eks. lyde, at

højde = A * vægt + målefejl.

for en konstant A. Det er en meget simpel model, hvor du forklarer de afvigelser der er fra modellen med noget additiv målestøj. Målestøjen er her en stokastisk variabel, resten af størrelserne er enten parametre eller ikke-stokastiske variable. Du vil nok også antage, at du kan opfatte målestøjen for hvert individ som uafh. af målestøj for de andre. Endelig fordelingsantagelsen, nemlig at målestøjen er normalfordelt med fast varians og middelværdi nul.

Målet er nu at lave inferens om parameteren A (vi antager at variansen på målestøj er kendt). Det gør man ved at udtage n stikprøver (altså et antal mænd, hvor vi måler højde og vægt) og beregne det bedste bud på A. Lad os betegne højde/vægt-talparrene (h_1,v_1),...,(h_n,v_n). Antagelsen var, at målefejl e_1,...,e_n var uafhængigt og identisk normalfordelte. Deres simultane sandsynlighedstæthed faktoriserer derfor

f(e_1,...,e_n|A)=f(e_1|A)...f(e_n|A),

I ovenstående bruger jeg (...|A) til at indikere, at A er en parameter.

Man producerer nu et estimat på A ved at maksimere ovenstående funktion mht. A, idet man bruger at

e_i = h_i - A * v_i

Det er der god fornuft i, for det betyder, at den værdi du angiver som estimatet for A er den værdi, som er mest sandsynlig for at have været skyld i data. Man kalder dette estimat maximum likelihood estimatet.

Hermed har du angivet et estimat ift. din model. Det er ikke svært (lineær regression, essentielt). Statistiskerens rolle er nu at "hagle sig selv ned"; er modellen mon fornuftig at bruge? Det kan man tjekke ved at se på residualerne, altså de realiserede værdier af e_i'erne - ser de ud til at være normalfordelte. Og hvad kan man sige om parameteren A; er der god grund til at tro, den rent faktisk har den værdi, vi har beregnet, dvs. er stikprøven repræsentativ for populationen? Der bør være stor forskel på, hvor meget vi stoler på estimatet hvis vi har tre målinger sammenlignet med hvis vi har 103 målinger. Eller for den sags skyld, hvis de højder vi har målt alle har ligget mellem 150 og 151 cm bliver vores estimat heller ikke så godt, som hvis der var større variation. Ser der mon ud til at være ekstreme målinger - outliers?

Essentielt er problemstillingen (her) altså bare almindelig lineær regression, men med en mere teoretisk tilgangsvinkel, hvor man er langt mere kritisk overfor de vurderinger, man kommer med - og kan bruge matematiske værktøjer til at vurdere dem.

mange tak for den lave beskrivelse, det virker nu ok spændende men umiddelbart lidt for let, jeg skal nok lave noget research om emnet

Uligheder er også et spændende emne: her tænker jeg f.eks. på Hölders ulighed. Du kan også skrive om det geometriske, aritmetiske, harmoniske og kvadratiske gennemsnit, og hvordan de er "kædes sammen" vha. uligheder.

lineær programmering?

#8: Statistik er stort set så svært, som du selv ønsker at gøre det. Du kan være meget teoretisk og meget praktisk - det er op til dig selv. Altså en hel del valgfrihed.

Hvis du ikke allerede har besøgt følgende side, så tror jeg, at der er god inspiration at hente dér:

http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/skr-opg/

# 1, 3, 5, 7 og 11:
Statistik er en glimrende forslag; jeg selv overvejede at skrive SSO i matematik. Underemnet skulle i så fald have været "aktuarmatematik" (forsikringsmatematik), hvori statistik er et væsentlig element.
Du, *A*, nævner i #8, at det virer for let; derfor synes jeg du skal prøve kræfter med aktuarmatematik. Det skal nævnes, at der vist aldrig rigtig er lavet nogle SSO'er om dette emner, hvorfor du formentlig kan opnå en yderst godkendt karakter for dit endelige arbejde.