Induktionsbevis for en lukket formel

Jeg er gået i stå i induktionsskridtet. Opgaven lyder sådan her.

Find en lukket formel for forfølgende udtryk: [Græsk sumtegn(1/2^i), øvre grænse n, nedre grænse i=1], og bevis at formlen er korrekt.


Min påstand på en lukket formel for udtrykket er:

[Græsk sumtegn(1/2^i) øvre grænse n, nedre grænse i=1] = 1-(1/2^n)

Induktionsbevis for at min påstand er korrekt:

Basisskridt:

n=1

Venstre side:

[Græsk sumtegn(1/2^i) øvre grænse 1, nedre grænse i=1] = [Græsk sumtegn(1/2^1) øvre grænse 1, nedre grænse i=1] = 1/2

Højre side:

1-(1/2^n) = 1-(1/2^1) = 1/2

Da venstre side er lig med højre side er min basisskridt OK !

Induktionsskridt:

Jeg antager at formlen er korrekt for n. Jeg vil nu bevise at formlen også er korrekt for n+1 Dvs. jeg vil nå frem til følgende udtryk:

[Græsk sumtegn(1/2^i) øvre grænse n+1, nedre grænse i=1] = 1-(1/2^n+1)

Jeg prøver på at regne mig frem til udtrykket herunder.

[Græsk sumtegn(1/2^i) øvre grænse n+1, nedre grænse i=1] = [Græsk sumtegn(1/2^i), øvre grænse n, nedre grænse i=1] + (1/2^n+1)
= (1-(1/2^n)) + (1/2^n+1) = (1-(2/2^n+1)) + (1/2^n+1)

Nu kan jeg komme videre i min udregning !