nulpunkter for faktoriseret 3. og 4. grads polynomier

#0: Et faktoriseret polynomium af 4. grad vil se således ud:

ax⁴+bx³+cx²+dx+e=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄), hvor (x₁,x₂,x₃,x₄) er rødder til polynomiet.

De funktioner, du har opskrevet, er afledte er derfor ikke faktoriserede.

f '(x) = 3(x² - 2x - 3)  = 3(x² - 2x +1 - 1 - 3) = 3((x² - 2x +1) - 4)  = 3((x-1)² - 4)

3((x-1)² - 4) = 0, hvoraf
(x-1)² - 4 = 0
(x-1)²  = 4
x-1 = +-2
x = 1+-2

x₀₁ = 3 og x₀₂ = -1

...eller med diskriminant

3x² - 6x - 9 = 0

a = 3
b = -6
c = -9

d = b² -4ac = (-6)² - 4*3*(-9) = 36-(-108) = 144 = 12²
√(d) = 12

x = (-b±√(d))/(2a) = ((-(-6)±12)/(2*3)

x_o1 = 18/6 = 3 og x_o2 = (-6)/6 = -1

...hvis α er rod i et polynomium, P(x), er (x-α) divisor i P(x):

og
P(x) = (x-α)*P₁ (x)

ja sorry- mente også afledt. mange tak for hjælpen - jeg kigger på det.,

er det samme procedure med det afledte 4.grads polynom?

endnu et spørgsmål::

f '(x) = 3(x² - 2x - 3)  = 3(x² - 2x +1 - 1 - 3) = 3((x² - 2x +1) - 4)  = 3((x-1)² - 4) - hvor kommer de to fremhævede 1 taller fra?

og det sidste led  3((x-1)² - 4) - hvordan findes frem til dette?

f ' (x)  = 3x³ - 3x² - 12x + 12 

ved efterprøvning ses,

at
f ' (1) = 0, hvoraf
3x³ - 3x² - 12x + 12  = (x-1)*(3x² -12) = 3(x-1)(x²-4) = 3(x-1)(x² - 2²)  = 3(x-1)(x-2)(x+2) 

da

a² - b² =  (a-b)(a+b)

...du bør "mestre" polynomiers division...

jeg læser alt hvad jeg kan - men med fuldtids arbejde ved siden af er der ret meget at holde styr på.

#6

hvis x² - 2x skal kvadratkompletteres til (x-1)² = x² - 2x + 1
mangler 1

hvilket klares ved at addere 1 og subtrahere 1

#9

BESTEMT!!!

ved en funktion givet f '(x) 4*x^3=0

- for at finde nulpunkter skal jeg så bruge gættemetoden eller variabelskriftsmetoden ved polynomiers division.?

#12: Generelt for 3. gradsligninger findes der en formel, der giver dig løsningerne. Den er dog ikke en del af pensum i de gymnasielle uddannelser, så vidt jeg ved, og derfor er det helt fair at bruge lommeregneren til at finde nulpunkter til 3. grad og opefter. I dit konkrete tilfælde ses det hurtigt, at der kun er én løsning ved x=0 for at få f'(x) til at give 0.

f '(x)  = 4*x³=0

4*x₀³ = 4*x₀*x_0*x_0* = 0

med (tredobbelt)roden x₀ = 0

#13 kan du forklare mig lidt mere hvordan det kan ses hurtigt at det er x=0

hvis jeg skal bruge polynomiers division hvilken en af metoderne er så den rette.?

#15: #14 viser, at din ligning kun kan gå op med x=0. Du kan kalde det et kvalificeret gæt på en løsning, om du vil. :)

#14
...evt. skrevet

4*(x-0)³ = 0
til sammenligning med

#7

mange tak. jeg forsøger at hitte rede i det hele, men der er virkelig meget!

- jeg vender formentlig tilbage! - tak igen :)

#18: De generelle rødder for en tredjegradsligning kan ses her:

http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion.htm