Matematik
Bestem en a værdi for g(x)-1 eksisterer
Opg:
Bestem konstanten a, så grafen for funktionen ga(x)=x3+ax2+4 har x-aksen som tangent.
Vis derefter, at der findes netop en værdi af a, for hvilken ga-1 eksisterer, og bestem (ga-1)'(3) for den fundne værdi af a.
Spm:
Jeg har differentieret ligningen ( ga'(x)=3x2+2ax ), og fundet en passende x-værdi ( x=-4a/6), og tilsidst sat min oprindelige ligninge lig nul, med den fundne x-værdi ( (-4a/6)3+a(-4a/6)2+4=0 ) og derved får jeg: a = -3
Nu er det så jeg ikke fatter hvad jeg skal gøre, er der nogen der kan hjælpe med de sidste to linier af opgaven.
Svar #1
10. september 2008 af fluen på væggen (Slettet)
Du har at ga'(x)=3x2+2ax som du selv skriver. Dette kan skrives som ga'(x)=x(3x+2a). Når man nu ser på ligningen ga'(x)=0 siger nulreglen, at x=0 eller 3x+2a=0, hvor sidste ligning giver x=-(2a)/3 - hvilket er det samme som dit resultat fra før.
Bemærk i øvrigt, at 03+a·02+4=0 er uløselig, så du har korrekt valgt kun at se på muligheden x=-(2a)/3.
Men tilbage til anden del af opgaven. Hvis den afledte har to forskellige nulpunkter, så er f IKKE monoton, så alle funktionsværdier f(x) for et x mellem 0 og -(2a)/3, hvor f er aftagende, vil optræde igen, både før og efter dette aftagende interval, hvor f jo er voksende. Altså er f ikke invertibel.
Vi skal altså bestemme a, så de to nulpunkter er sammenfaldende, dvs. 0=-(2a)/3, hvilket giver a=0. Kun for denne værdi af a eksisterer ga-1.
Svar #2
10. september 2008 af peter lind
For at den inverse skal eksistere skal g være monoton, og det er den netop hvis g'(x) har samme fortegn for alle x med undtagelse af 0 i enkelte punkter.
Skriv et svar til: Bestem en a værdi for g(x)-1 eksisterer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.