Fourier Sinus Polynonium

a) Lad Sn være dét Fourier Sinus polynonium fundet i opgave 5. Brug Sn(1/2)-->f(1/2) for n-->oo til at vise at:

1-1/3+1/5----±1/(2k+1)-->pi/4

Hertil har jeg brugt, at f(1/2)=1(ses i en funktion), samt:

k*Sn(1/2)-->k*f(1/2)=k

I dette tilfælde er k=pi/4, heraf:

pi/4*Sn(1/2)-->pi/4

Ergp skal jeg vise, at venstre siden svarer til rækken, som står ovenstående.

Hertil er det blevet benyttet, at:

Sn(t)=4/pi*sin(pi*t)+4/(3pi)*sin(3pi*t)+4/(5pi)*sin(5pi*t)......+4/(k*pi)*sin(k*pi*t)

1/2 og pi/4 indsættes, hvormed følgende række fås.

1-1/3+1/5........±1/(2k+1), heraf er det nu bevist, at rækken går mod pi/4.

Nu til selve problemet:

b) Bestem en lignende grænse ud fra det fourier sinus polynonium, som jeg fandt i opgave 6.

Fourier sinus polynoium er denne gang:

Sn(t)=-4/pi*sin(1/2pi*t)-4/(2pi)*sin(pi*t)-4/(3pi)*sin(3/2pi*t).......-4/(kpi)*sin(1/2pi*t*k)

Her skal jeg bestemme grænsen, og dette foresager lidt problemer.

Hvis jeg skal gøre nytte af samme hint, som i opgave a): Sn(½)-->f(½) for n-->oo, så fås:

(f er en anden funktion, her f(t)=t), dvs:

Sn(½)-->f(½)=½

Heraf:

k*Sn(½)-->k/2

Men er kommet i tvivl, om man skal benytte ½ eller fx. 1. 

Hvordan kommer jeg videre herfra, med andre ord, hvordan kan k bestemmes?

Fortsat god weekend

Mvh. Dan